《機械》〈回転機〉[H28:問4]かご形三相誘導電動機の入力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格周波数\( \ \mathrm {50 \ Hz } \ \)，\( \ \mathrm {6} \ \)極のかご形三相誘導電動機があり，トルク\( \ \mathrm {200 \ N\cdot m } \ \)，機械出力\( \ \mathrm {20 \ kW } \ \)で定格運転している。このときの二次入力(同期ワット)の値\( \ \mathrm {[ kW ] } \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　\( \ 19 \ \)　　(2)　\( \ 20 \ \)　　(3)　\( \ 21 \ \)　　(4)　\( \ 25 \ \)　　(5)　\( \ 27 \ \)

【ワンポイント解説】

誘導電動機の基本公式を理解しているかを問う問題です。電験ではもう少し複雑な問題が出てもよさそうな気もしますが，本問は良い練習問題となります。

1.三相誘導電動機の同期速度
周波数\( \ f \ \)，極数\( \ p \ \)としたとき，電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.三相誘導電動機の出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)とトルク\( \ T \ \)の関係
出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)，その時の角周波数\( \ \omega \ \)としたとき，電動機のトルク\( \ T \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。ただし，\( \ \omega \ \)は，回転速度\( \ N \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {2\pi N}{60} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] です。

3.同期ワット
トルク\( \ T \ \)で電動機の回転数を同期速度(同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \))で運転した場合の出力であり，二次入力\( \ P_{2} \ \)と等しくなります。
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}}&=&\omega _{\mathrm {s}}T \\[ 5pt ] &=&P_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって，トルクと出力と二次入力の関係は以下の関係があります。
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{2}\left( 1-s\right) }{\omega _{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答：(3)
定格周波数\( \ f=\mathrm {50 \ Hz } \ \)，極数\( \ p=6 \ \)であるから，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {120\times 50}{6} \\[ 5pt ] &=&1000 \ \mathrm {[ min^{-1} ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}}&=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi \times 1000}{60} \\[ 5pt ] &≒& 104.72 \ \mathrm {[ min^{-1} ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，二次入力(同期ワット)\( \ P_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&\omega _{\mathrm {s}}T \\[ 5pt ] &=&104.72\times 200 \\[ 5pt ] &=& 20944 \ \mathrm {[ W ] } \\[ 5pt ] &≒& 21 \ \mathrm {[ kW ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。