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\( \ \log _{10} \ \)の中身が\( \ 10^{x} \ \)だったら―（ア）\( \ \log _{10}0.01 \ \)の解説―
\( \ \log _{10} \ \)の中身が“\( \ 10 \ \)の何乗”だったらどうなるでしょう？
例えば\( \ 10^{3} \ \)だとします。
\( \ \log_{10} 10^{3} \ \)とは“\( \ 10 \ \)を\( \ 10 \ \)の\( \ 3 \ \)乗にするには，何乗すればよいか”ですね。
……あれ？問題文が答えを言っていますね。もちろん\( \ 3 \ \)乗なので，\( \ \log_{10} 10^{3}=3 \ \)です。
つまり，\( \ \log _{10} \ \)の中身が“\( \ 10 \ \)の\( \ x \ \)乗”なら次の式が成立します。
\[
\begin{eqnarray}
\log _{10}10^{x}&=&x \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【練習問題】
次の値を求めましょう。
\( (1) \) \( \ \log _{10}100 \ \)
\( (2) \) \( \ \log _{10}\displaystyle \frac {1}{10} \ \)
\( (3) \) \( \ \log _{10}0.01 \ \)
\( (4) \) \( \ \log _{10}\sqrt {10} \ \)
\( (1) \) \( \ \log _{10}100 \ \)
\[
\begin{eqnarray}
100&=&10×10 \\[ 5pt ]
&=&10^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
なので，
\[
\begin{eqnarray}
\log _{10}100&=&\log _{10}10^{2} \\[ 5pt ]
&=&2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( (2) \) \( \ \log _{10}\displaystyle \frac {1}{10} \ \)
逆数は指数で\( \ -1 \ \)ですから，\( \ \displaystyle \frac {1}{10}=10^{-1} \ \)です。
したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\log _{10}\displaystyle \frac {1}{10}&=&\log _{10}10^{-1} \\[ 5pt ]
&=&-1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( (3) \) \( \ \log _{10}0.01 \ \)
今度は小数ですね。\( \ 0.01=10^{-2} \ \)ですが，難しい方は，一度分数にすると分かりやすいです。
\[
\begin{eqnarray}
0.01&=&\frac {1}{100} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{10^{2}} \\[ 5pt ]
&=&10^{-2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\log _{10}0.01&=&\log _{10}10^{-2} \\[ 5pt ]
&=&-2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( (4) \) \( \ \log _{10}\sqrt {10} \ \)
今度はルートですね。
\( \ \sqrt {10}=10^{0.5} \ \)となります。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\log _{10}\sqrt {10}&=&\log _{10}10^{0.5} \\[ 5pt ]
&=&0.5 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
もちろん，\( \ \sqrt {10}=10^{\frac {1}{2}} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
\log _{10}\sqrt {10}&=&\log _{10}10^{\frac {1}{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
も正解です。
以上をまとめると，図4のようになります。
