【対数⑥】対数座標の見方とボード線図の問題の解き方の王道―（カ）対数座標，ボード線図―

縦軸と横軸に数値があるので，実際に代入して解きます。
\( \ \omega =100 \ \)を代入して，ゲインがおよそ\( \ -20 \ \)であれば正答は(1)か(2)か(3)であり，\( \ 0 \ \)であれば(4)か(5)です。

ゲインの式は次の通りです。
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log_{10}\frac {1}{\sqrt {\left( 1-1\times 10^{-6}\omega ^{2}\right) ^{2}+\left( 1\times 10^{-4}\omega ^{2}\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ここに\( \ \omega =100 \ \)を代入すると，\( \ g=0 \ \)となります（計算の詳細は対数⑤をご覧ください）。したがって答えは(4)か(5)です。
次に，(4)と(5)が，どこが違うかを見比べます。

\( \ \omega =1 \ 000 \ \)のとき，\( \ 20 \ \)なら正答は(4)，\( \ 0 \ \)なら(5)です。
なお，\( \ \omega =10 \ 000 \ \)のときは，(4)も(5)もおよそ\( \ -40 \ \)ですから，これで答えは絞り込めません。

ゲインの式に\( \ \omega =1 \ 000 \ \)を代入すると，\( \ g=20 \ \)です（計算の詳細は対数⑤をご覧ください）。

以上より，正答は(4)です。

軸に数値がありません。このような場合は\( \ \omega \ \)の大小で場合分けします。

\( \ \underline {\omega } \ \)が小さいとき＝横軸の左側
グラフを見ると，ゲイン（縦軸）が一定値になっていますね。\( \ 20 \log_{10} K \ \)なら正答は(1),(3),(5)のいずれか，\( \ 0 \ \)なら(2)，(4)のいずれかです。

この問題で，ゲインは以下の式で表されます。
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log_{10}\frac {K}{\sqrt {K^{2}+\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \( \ \omega \ \)が小さいとき，\( \ \left( \omega T\right) ^{2} \ \)も小さくなるため，\( \ K^{2} \ \)に比べて\( \ \left( \omega T\right) ^{2} \ \)は十分小さいとして無視できます。
\( \ \sqrt {K^{2}+\left( \omega T\right) ^{2}}≃\sqrt {K^{2}}=K \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log_{10}\frac {K}{K} \\[ 5pt ] &=&20\log_{10}1 \\[ 5pt ] &=&20\times 0 \\[ 5pt ] &=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって，答えは(2)，(4)のいずれかです。

\( \ \underline {\omega } \ \)が大きいとき＝横軸の右側
グラフは右下がりの直線です。一定値だったグラフが折れ曲がる点が，\( \ T/K \ \)なら正答は(2)，\( \ K/T \ \)なら(4)です。

折れ曲がる点とは，右下がりの直線と横軸の交点です。したがって，右下がりの直線の式を求めて，\( \ g=0 \ \)を代入して，交点の値を求めます。

まずは右下がりの直線の式を導出しましょう。
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log_{10}\frac {K}{\sqrt {K^{2}+\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \( \ \omega \ \)が大きいとき，\( \ \left( \omega T\right) ^{2} \ \)も大きくなるため，\( \ \left( \omega T\right) ^{2} \ \)に比べて\( \ K^{2} \ \)は十分小さいとして無視できます。
\( \ \sqrt {K^{2}+\left( \omega T\right) ^{2}}≃\sqrt { \left( \omega T\right) ^{2}}=\omega T \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log_{10}\frac {K}{\omega T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] この時点では，右下がりの直線の式に見えません。横軸が\( \ \log_{10} \omega \ \)ですから，この形を目指します。
\[
\begin{eqnarray}
g&=&〇\times \log_{10}\omega +□ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって，分母の\( \ \omega \ \)を引き算に分解して，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log_{10}\frac {K}{\omega T} \\[ 5pt ] &=&20\log_{10}\frac {K}{T}-20\log_{10}\omega \\[ 5pt ] &=&-20\log_{10}\omega +20\log_{10}\frac {K}{T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 無事に右下がりの直線の形になりました。傾きは\( \ -20 \ \)です。実際グラフにも，傾きが\( \ -20 \ \)と書いてありますね。

ここに，\( \ g=0 \ \)を代入します。
\[
\begin{eqnarray}
0&=&-20\log_{10}\omega +20\log_{10}\frac {K}{T} \\[ 5pt ] 20\log_{10}\omega &=&20\log_{10}\frac {K}{T} \\[ 5pt ] \log_{10}\omega &=&\log_{10}\frac {K}{T} \\[ 5pt ] \omega &=&\frac {K}{T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] よって，正答は (4)です。

複数のボード線図から正しいものを選ぶ問題が定番ですが，この問題はその逆です。ボード線図が与えられており，複数の周波数伝達関数の中から，正しいものを選びます。
この問題は 2 つの注意点があります。

注意点1：折れ曲がった部分に近似が使われている場合は代入しない
この問題は，ボード線図に具体的な数値があるので，これを(1)～(5)に代入して解きます。
ボード線図によると\( \ \omega =2 \ \)のときゲインが\( \ 40 \ \)ですが，\( \ \omega =2 \ \)を代入するのはおすすめしません。ボード線図は通常折線近似が使われており，特に折れ曲がり部分には大胆な近似が使われているからです。つまり，\( \ \omega =2 \ \)のときゲインが\( \ 40 \ \)やそれに近い数値にはならないのです。
代入する\( \ \omega \ \)は，できるだけ小さい数値と大きい数値を選びましょう。実際に問題を解くと分かるのですが，\( \ \omega \ \)の大小で場合分けすることで，小さい数値を無視して式を簡単にできるからです。

注意点2：周波数伝達関数≠ゲイン
(1)～(5)は周波数伝達関数であり，ボード線図の縦軸はゲインです。これらを混同しないようにしましょう。
(1)を例にとると，周波数伝達関数とゲインの関係はこのようになります。

注意点が分かったところで，実際に解いてみましょう。まずは\( \ \omega =0 \ \)を代入します。
ここで，注意深い受験生は疑問に思うかもしれません。今回の横軸\( \ \left( \omega \right) \ \)は\( \ 2 \ \)，\( \ 20 \ \)，\( \ 200 \ \)とあるので，横軸の左端は\( \ 0.2 \ \)から始まっているように見えますし，そもそも対数座標の説明で述べた通り，対数座標に\( \ 0 \ \)は存在しません。

\( \ \underline {\omega =0} \ \)を代入してよい理由
グラフに存在しない\( \ \omega =0 \ \)を代入していいのか，という疑問は素晴らしいのですが，実際は問題ありません。問題がないどころか，短時間で正解候補を絞り込めるので，電験合格には必須の技となります。
\( \ \omega =0 \ \)を代入して問題ない理由を説明します。ボード線図は，\( \ \omega \ \)（横軸）が\( \ 2 \ \)以下のとき，ゲイン（縦軸）が一定値となっています。つまり，\( \ \omega \ \)が\( \ 2 \ \)以下の場合は，\( \ \omega \ \)の値は関係ないのです。ということは，ゲインの式には\( \ \omega \ \)が存在しない，つまり分母にある\( \ 1+\mathrm {j}〇\omega \ \)の，\( \ \mathrm {j}〇\omega \ \)は無視されたということです。したがって，\( \ \omega =0 \ \)を代入して問題ありません。どうしても抵抗がある方は，\( \ \omega =0.000 \ 001 \ \)などの値を代入して，足し算する相手\( \ \left( 1\right) \ \)に比べて\( \ 2 \ \)桁以上小さいので無視・・・と考えるとよいでしょう。

\( \ \underline {\omega =0} \ \)を代入
では，まずは(1)に\( \ \omega =0 \ \)を代入しましょう。ゲインが\( \ 40 \ \)なら，正答候補です。
\( \ \omega =0 \ \)なら分母が\( \ 1 \ \)なので，周波数伝達関数は\( \ 40 \ \)です。ゲインに変換すると\( \ 20 \log 40 \ \)です。\( \ \log 40 \ \)がいくつかは，分かりませんが，\( \ 2 \ \)でないことは確かです。なぜなら\( \ \log 100=2 \ \)ですから。したがって，ゲインが 40 ではないので，(1)は正答ではないと分かります。

同様に(2)～(5)も計算すると以下の通りです。正答候補は(3)～(5)に絞られました。

ゲイン\( \ \underline {=0} \ \)を代入
続いて，\( \ \omega =200 \ \)のときにゲインが\( \ 0 \ \)という情報を使いましょう。

\( \ \omega =0 \ \)を代入した時にお分かりいただけたと思うのですが，代入する値が\( \ 0 \ \)なら計算が楽です。したがって，今回はゲインに\( \ 0 \ \)を代入するところからスタートしましょう。

まずは (3) を検討します。周波数伝達関数がこちらです。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {100}{1+\mathrm {j}\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ゲインの式はこのようになります。
\[
\begin{eqnarray}
20\log \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] これが\( \ 0 \ \)ですから，
\[
\begin{eqnarray}
20\log \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}}=0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\log \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}}=0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \( \ \log=0 \ \)ということは，\( \ \log \ \)の中身が\( \ 1 \ \)ですから（\( \ 0 \ \)乗すると\( \ 1 \ \)），
\[
\begin{eqnarray}
\frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}}=1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] つまり，\( \ \omega =200 \ \)を代入して，この等式が成立すれば，(3)が正答ということです。
(4),(5)についても同様ですから，このようになります。

では，(3)～(5)に\( \ \omega =200 \ \)を代入しましょう。

“む”と書いたのは，無視するという意味です。\( \ 2 \ \)桁以上小さい足し算・引き算は無視しています。

以上より，正答は(5)です。

複数のボード線図から正しいものを選ぶ問題が定番ですが，この問題はその逆です。ボード線図が与えられており，複数の周波数伝達関数の中から，正しいものを選びます。
この問題は 2 つの注意点があります。

注意点1：折れ曲がった部分に近似が使われている場合は代入しない
この問題は，ボード線図に具体的な数値があるので，これを(1)～(5)に代入して解きます。
ボード線図によると\( \ \omega =2 \ \)のときゲインが\( \ 40 \ \)ですが，\( \ \omega =2 \ \)を代入するのはおすすめしません。ボード線図は通常折線近似が使われており，特に折れ曲がり部分には大胆な近似が使われているからです。つまり，\( \ \omega =2 \ \)のときゲインが\( \ 40 \ \)やそれに近い数値にはならないのです。
代入する\( \ \omega \ \)は，できるだけ小さい数値と大きい数値を選びましょう。実際に問題を解くと分かるのですが，\( \ \omega \ \)の大小で場合分けすることで，小さい数値を無視して式を簡単にできるからです。

注意点2：周波数伝達関数≠ゲイン
(1)～(5)は周波数伝達関数であり，ボード線図の縦軸はゲインです。これらを混同しないようにしましょう。
(1)を例にとると，周波数伝達関数とゲインの関係はこのようになります。

注意点が分かったところで，実際に解いてみましょう。まずは\( \ \omega =0 \ \)を代入します。
ここで，注意深い受験生は疑問に思うかもしれません。今回の横軸\( \ \left( \omega \right) \ \)は\( \ 2 \ \)，\( \ 20 \ \)，\( \ 200 \ \)とあるので，横軸の左端は\( \ 0.2 \ \)から始まっているように見えますし，そもそも対数座標の説明で述べた通り，対数座標に\( \ 0 \ \)は存在しません。

\( \ \underline {\omega =0} \ \)を代入してよい理由
グラフに存在しない\( \ \omega =0 \ \)を代入していいのか，という疑問は素晴らしいのですが，実際は問題ありません。問題がないどころか，短時間で正解候補を絞り込めるので，電験合格には必須の技となります。
\( \ \omega =0 \ \)を代入して問題ない理由を説明します。ボード線図は，\( \ \omega \ \)（横軸）が\( \ 2 \ \)以下のとき，ゲイン（縦軸）が一定値となっています。つまり，\( \ \omega \ \)が\( \ 2 \ \)以下の場合は，\( \ \omega \ \)の値は関係ないのです。ということは，ゲインの式には\( \ \omega \ \)が存在しない，つまり分母にある\( \ 1+\mathrm {j}〇\omega \ \)の，\( \ \mathrm {j}〇\omega \ \)は無視されたということです。したがって，\( \ \omega =0 \ \)を代入して問題ありません。どうしても抵抗がある方は，\( \ \omega =0.000 \ 001 \ \)などの値を代入して，足し算する相手\( \ \left( \right) \ \)に比べて\( \ 2 \ \)桁以上小さいので無視・・・と考えるとよいでしょう。

\( \ \underline {\omega =0} \ \)を代入
では，まずは(1)に\( \ \omega =0 \ \)を代入しましょう。ゲインが\( \ 40 \ \)なら，正答候補です。
\( \ \omega =0 \ \)なら分母が\( \ 1 \ \)なので，周波数伝達関数は\( \ 40 \ \)です。ゲインに変換すると\( \ 20 \log 40 \ \)です。\( \ \log 40 \ \)がいくつかは，分かりませんが，\( \ 2 \ \)でないことは確かです。なぜなら\( \ \log 100=2 \ \)ですから。したがって，ゲインが 40 ではないので，(1)は正答ではないと分かります。

同様に(2)～(5)も計算すると以下の通りです。正答候補は(3)～(5)に絞られました。

ゲイン\( \ \underline {=0} \ \)を代入
続いて，\( \ \omega =200 \ \)のときにゲインが\( \ 0 \ \)という情報を使いましょう。

\( \ \omega =0 \ \)を代入した時にお分かりいただけたと思うのですが，代入する値が\( \ 0 \ \)なら計算が楽です。したがって，今回はゲインに\( \ 0 \ \)を代入するところからスタートしましょう。

まずは (3) を検討します。周波数伝達関数がこちらです。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {100}{1+\mathrm {j}\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ゲインの式はこのようになります。
\[
\begin{eqnarray}
20\log \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] これが\( \ 0 \ \)ですから，
\[
\begin{eqnarray}
20\log \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}}=0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\log \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}}=0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \( \ \log=0 \ \)ということは，\( \ \log \ \)の中身が\( \ 1 \ \)ですから（\( \ 0 \ \)乗すると\( \ 1 \ \)），
\[
\begin{eqnarray}
\frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}}=1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] つまり，\( \ \omega =200 \ \)を代入して，この等式が成立すれば，(3)が正答ということです。
(4),(5)についても同様ですから，このようになります。

では，(3)～(5)に\( \ \omega =200 \ \)を代入しましょう。

“む”と書いたのは，無視するという意味です。\( \ 2 \ \)桁以上小さい足し算・引き算は無視しています。

以上より，正答は(5)です。