【三角関数②】サイン・コサインの概念を三角形から座標に拡張。弧度法の徹底的な復習も

\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)は\( \ \displaystyle \frac{1}{4} \ \)円，\( \ \pi \ \)は半円，\( \ 2 \pi \ \)は円，でしたね。

そしてサインは\( \ y \ \)座標，コサインは\( \ x \ \)座標です。

\( \ (1-1) \ \) \( \ \sin \pi =0 \ \)，\( \ \cos \pi =-1 \ \)

\( \ \pi \ \)は半円ですから，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
座標は\( \ ( -1,0 ) \ \)です。

\( \ (1-2) \ \) \( \ \sin \displaystyle \frac{3}{2}\pi =-1 \ \)，\( \ \cos \displaystyle \frac{3}{2}\pi =0 \ \)

\( \ \displaystyle \frac{3}{2}\pi \ \)は，\( \ \displaystyle \frac{1}{4} \ \)円が\( \ 3 \ \)つですから，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
座標は\( \ ( 0,-1 ) \ \)です。

\( \ (1-3) \ \) \( \ \sin 2\pi =0 \ \)，\( \ \cos 2\pi =1 \ \)

\( \ 2 \pi \ \)は円ですから，スタート地点に戻ります。
座標は\( \ (1,0 ) \ \)です。

\( \ (1-4) \ \) \( \ \sin 0 =0 \ \)，\( \ \cos 0 =1 \ \)

スタート地点である点\( \ \mathrm {P} \ \)です。座標は\( \ ( 1,0 ) \ \)です。
当然ながら，\( \ \theta = 2\pi \ \)と同じ答えになります。

\( \ (1-5) \ \) \( \ \sin 3 \pi =0 \ \)，\( \ \cos 3 \pi =-1 \ \)

\( \ 3\pi \ \)は，\( \ 2\pi+\pi \ \)ですから，一周とさらに半周回って，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
座標は\( \ ( -1,0 ) \ \)です。

\( \ (1-6) \ \) \( \ \sin \displaystyle \frac{203}{2}\pi =0 \ \)，\( \ \cos \displaystyle \frac{203}{2}\pi =-1 \ \)

急に大きな数字になって驚いたかもしれませんが，\( \ (1-5) \ \)と同じ考え方で解けます。
\( \ \displaystyle \frac{203}{2}\pi=100\pi+\displaystyle \frac{3}{2}\pi\ \) です。

\( \ 100\pi \ \)とは\( \ 2\pi\times 50 \ \)ですから，\( \ 50 \ \)周回るということです。
これにプラス\( \ \displaystyle \frac{3}{2}\pi \ \)ですから，\( \ \displaystyle \frac{1}{4} \ \)円が\( \ 3 \ \)つで，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
座標は\( \ ( 0,-1 ) \ \)です。

マイナスですからスタート地点から下方向（時計回り）に回るところに注意しましょう。

\( \ (2-1) \ \)　\( \ \sin (-\pi) =0 \ \)，\( \ \cos (-\pi) =-1 \ \)

\( \ \pi \ \) は半円ですから，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。

座標は\( \ ( -1,0 ) \ \)です。

\( \ (2-2) \ \)　\( \ \sin \left(-\displaystyle \frac{3}{2}\pi\right) =1 \ \)，\( \ \cos \left(-\displaystyle \frac{3}{2}\pi\right) =0 \ \)

\( \ \displaystyle \frac{3}{2}\pi \ \)は，\( \ \displaystyle \frac{1}{4} \ \)円が\( \ 3 \ \)つですから，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。

座標は\( \ ( 0,1 ) \ \)です。

\( \ (2-3) \ \)　\( \ \sin (-2\pi) =0 \ \)，\( \ \cos (-2\pi) =1 \ \)

\( \ 2 \pi \ \)は円ですから，スタート地点に戻ります。

座標は\( \ ( 1,0 ) \ \)です。

\( \ (2-4) \ \)　\( \ \sin \left(-\displaystyle \frac{101}{2}\pi\right) =-1 \ \)，\( \ \cos \left(-\displaystyle \frac{101}{2}\pi\right) =0 \ \)

\( \ -\displaystyle \frac{101}{2}\pi=-50\pi-\displaystyle \frac{\pi}{2} \ \) です。

\( \ -50 \pi \ \)とは\( \ -2 \pi \times 25 \ \)ですから，スタート地点から下の方向に\( \ 25 \ \)周回るということです。
これに\( \ -\displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)ですから，スタート地点から下の方向に\( \ \displaystyle \frac{1}{4} \ \)周回って，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。

座標は\( \ ( 0,-1 ) \ \)です。

\( \ x \ \)軸に線をおろして直角三角形を作って考えましょう。マイナスの場合はスタート地点から下方向に回る（時計回り）ことに注意しましょう。

\( \ (3-1) \ \)　\( \ \sin \displaystyle \frac{2}{3}\pi = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)，\( \ \cos \displaystyle \frac{2}{3}\pi =- \displaystyle \frac{1}{2} \ \)

\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)が\( \ 2 \ \)つですから，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。

この点の座標を知るには，\( \ x \ \)軸に線をおろして，直角三角形を作りましょう。
図の水色の角度は，直線（\( \ \pi \ \)）から\( \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi \ \)を引いて\( \ \displaystyle \frac{\pi }{3}\ \)です。
よって，図のようになるので，座標は\( \ \left(-\displaystyle \frac{1}{2} , \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \ \)です。

\( \ (3-2) \ \)　\( \ \sin \displaystyle \frac{5}{6}\pi =\displaystyle \frac{1}{2} \ \)，\( \ \cos \displaystyle \frac{5}{6}\pi = -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)

\( \ \displaystyle \frac{5}{6}\pi \ \)を，\( \ \displaystyle \frac{\pi}{6} \ \)が\( \ 5 \ \)つ，と考えてもイメージできないと思います。

そこで，\( \ \displaystyle \frac{5}{6}\pi \ \)を，”直線（\( \ \pi \ \)）に，\( \ \displaystyle \frac{\pi}{6} \ \)足りない”と考えます。単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
この点の座標を知るには，\( \ \mathrm {x} \ \)軸に線をおろして，直角三角形を作りましょう。

図のようになるので，座標は\( \ \left(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} , \displaystyle \frac{1}{2}\right) \ \)です。

\( \ (3-3) \ \)　\( \ \sin \left(-\displaystyle \frac{\pi}{3}\right) = -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)，\( \ \cos \left(-\displaystyle \frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle \frac{1}{2} \ \)

スタート地点から下の方向に\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)だけ回るので，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
この点の座標を知るには，\( \ x \ \)軸に線をおろして，直角三角形を作りましょう。

図のようになるので，座標は\( \ \left(\displaystyle \frac{1}{2} , -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \ \)です。

\( \ (3-4) \ \)　\( \ \sin \left(-\displaystyle \frac{5}{6}\pi\right) =-\displaystyle \frac{1}{2} \ \)，\( \ \cos \left(-\displaystyle \frac{5}{6}\pi\right) =-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)

スタート地点から下の方向に\( \ \displaystyle \frac{5}{6}\pi \ \)だけ回ります。
\( \ (3-2) \ \)と同様に，\( \ \displaystyle \frac{5}{6}\pi \ \)を，”直線（\( \ \pi \ \)）に，\( \ \displaystyle \frac{\pi}{6} \ \)足りない”と考えます。
単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
この点の座標を知るには，\( \ x \ \)軸に線をおろして，直角三角形を作りましょう。

図のようになるので，座標は\( \ \left(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} , -\displaystyle \frac{1}{2}\right) \ \)です。

\( \ (3-5) \ \)　\( \ \sin \left(- \displaystyle \frac{\pi}{4}\right) =-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \ \)，\( \ \cos \left(-\displaystyle \frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \ \)

スタート地点から下の方向に\( \ \displaystyle \frac{\pi}{4} \ \)だけ回るので，単位円の点\( \ \mathrm {P} \ \)です。
この点の座標を知るには，\( \ x \ \)軸に線をおろして，直角三角形を作りましょう。

図のようになるので，座標は\( \ \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} , -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ \)です。