【三角比①】三角比とは何か。斜辺・底辺・高さの定義から詳しく解説

斜辺・底辺・高さの定義

ひとくちに直角三角形といっても，形も大きさも向きも様々です。
まずは向きを統一しましょう。直角が右下にくるようにします。

このときに左下にくる角度を\( \ \theta \ \)（シータ）と呼びます。例えば左下の角度が\( \ 20^\circ \ \)であれば， “\( \ \theta=20^\circ \ \)の直角三角形” と表現します。

辺の名前は，斜めの一番長い辺が ”斜辺（しゃへん）” ，横の辺が ”底辺” ，縦の辺が ”高さ” です。

※底辺は “隣辺” ，高さは “対辺” とも言いますが，ここでは分かりやすさを重視して，”底辺” と “高さ” とします。

ここで注意したいのが，どの角度を\( \ \theta \ \)とするかで，底辺と高さが変わることです。

同じ三角形を，ひっくり返して置いた場合は，”\( \ \theta=70^\circ \ \)の直角三角形” と表現し，底辺と斜辺も図のように変わります。

斜辺が\( \ 2 \ \)倍，\( \ 3 \ \)倍のとき，高さはどうなる？

ここで，\( \ \theta=20^\circ \ \)，斜辺\( \ 2 \ \mathrm {cm} \ \)の直角三角形を一緒に描いてみましょう。分度器も定規も使わず適当でいいです。ノートがなければ，頭の中でも構いません。

ノートの罫線（印刷されている横線）に対して，\( \ 20^\circ \ \)っぽい角度で直線をひき，長さ\( \ 2 \ \mathrm {cm} \ \)っぽいところで止めます。これが斜辺です。そこから真下に線を引き，ノートの罫線と直角になるところで止めます。底辺を書いて，直角三角形のできあがりです。

今みなさまは，”高さ” で悩まなかったはずです。つまり，”\( \ \theta \ \)と斜辺が決まっていれば，高さは自動的に決まった” のです。このことは，後ほど解説します。

今度は，\( \ \theta=20^\circ \ \)はそのままで，斜辺を\( \ 2 \ \)倍の\( \ 4 \ \mathrm {cm} \ \)にします。高さはどうなるでしょう？高さも\( \ 2 \ \)倍ですね。
斜辺を\( \ 3 \ \)倍の\( \ 6 \ \mathrm {cm} \ \)にするとどうでしょう。高さも\( \ 3 \ \)倍です。

実際の高さはこうなります。

ここで，高さ：斜辺 で比をとると，\( \ 3 \ \)つの三角形はどれも比が同じだと分かります。

斜辺\( \ 2 \ \mathrm {cm} \ \)の三角形の高さ：斜辺\( \ = 0.684:2 = 0.342:1 \ \)
斜辺\( \ 4 \ \mathrm {cm} \ \)の三角形の高さ：斜辺\( \ = 1.368:4 = 0.342:1 \ \)
斜辺\( \ 6 \ \mathrm {cm} \ \)の三角形の高さ：斜辺\( \ = 2.052:6 = 0.342:1 \ \)

三角比とは，辺の長さ：辺の長さ の ”比の値” のこと

みなさまは， ”比の値” という言葉をご存じでしょうか。
小学\( \ 6 \ \)年生くらいで，比と一緒に習っているはずです。といっても，私は覚えていませんでした。

比の値とは，\( \ a:b \ \)で表された比で，\( \ b \ \)を\( \ 1 \ \)とみたときに\( \ a \ \)がいくつになるかです。
要するに，\( \ a:b \ \)の比の値は，\( \ a \div b \ \)です。
例えば， \( \ 3:4 \ \)の比の値は，\( \ 3 \div 4 = 0.75 \ \)です。

同様に， 高さ：斜辺 の比の値は， 高さ\( \ \div \ \)斜辺です。

三角比とは，直角三角形の辺の長さと辺の長さの比の値なのです。

ここで，図\( \ 6 \ \)の\( \ 3 \ \)つの三角形について，比の値を確認しましょう。

斜辺\( \ 2 \ \mathrm {cm} \ \)の三角形の高さ\( \ \div \ \)斜辺\( \ = 0.684 \div 2 = 0.342 \ \)
斜辺\( \ 4 \ \mathrm {cm} \ \)の三角形の高さ\( \ \div \ \)斜辺\( \ = 1.368 \div 4 = 0.342 \ \)
斜辺\( \ 6 \ \mathrm {cm} \ \)の三角形の高さ\( \ \div \ \)斜辺\( \ = 2.052 \div 6 = 0.342 \ \)

比の値が同じです。

この\( \ 3 \ \)つだけでなく，\( \ \theta=20^\circ \ \)の直角三角形ならば，必ず　高さ\( \ \div \ \)斜辺\( \ = 0.342 \ \)　となります。

言い換えれば，” \( \ \theta \ \)が決まれば， 高さ\( \ \div \ \)斜辺も決まる” のです。

つまり，辺の長さが分からないのに，辺と辺の比の値だけが分かる，ということですね。
これが，三角比が難しい理由ですが，ご理解いただけましたでしょうか？

【参考：三角比の一覧表】

高さ\( \ \div \ \)斜辺は，\( \ \theta \ \)ごとに決まった値なので，一覧表があります。
確かに\( \ \theta=20^\circ \ \)なら\( \ 0.342 \ \)になっていますね。

角度[°]	高さ／斜辺	角度[°]	高さ／斜辺	角度[°]	高さ／斜辺	角度[°]	高さ／斜辺	角度[°]	高さ／斜辺
1	0.017	21	0.358	41	0.656	61	0.875	81	0.988
2	0.035	22	0.375	42	0.669	62	0.883	82	0.990
3	0.052	23	0.391	43	0.682	63	0.891	83	0.993
4	0.070	24	0.407	44	0.695	64	0.899	84	0.995
5	0.087	25	0.423	45	0.707	65	0.906	85	0.996
6	0.105	26	0.438	46	0.719	66	0.914	86	0.998
7	0.122	27	0.454	47	0.731	67	0.921	87	0.999
8	0.139	28	0.469	48	0.743	68	0.927	88	0.999
9	0.156	29	0.485	49	0.755	69	0.934	89	1.000
10	0.174	30	0.500	50	0.766	70	0.940
11	0.191	31	0.515	51	0.777	71	0.946
12	0.208	32	0.530	52	0.788	72	0.951
13	0.225	33	0.545	53	0.799	73	0.956
14	0.242	34	0.559	54	0.809	74	0.961
15	0.259	35	0.574	55	0.819	75	0.966
16	0.276	36	0.588	56	0.829	76	0.970
17	0.292	37	0.602	57	0.839	77	0.974
18	0.309	38	0.616	58	0.848	78	0.978
19	0.326	39	0.629	59	0.857	79	0.982
20	0.342	40	0.643	60	0.866	80	0.985

練習問題

図の直角三角形について，印をつけた角（角度を\( \ \theta \ \)とする）に注目した場合の，斜辺・底辺・高さを答えましょう。
さらに，高さ：斜辺の比の値を求め，一覧表を利用して\( \ \theta \ \)がおおよそ何度か（何度から何度の間か）を求めましょう。