【三角比②】サイン・コサイン・タンジェントとは？筆記体を使わない覚え方を紹介

高さ\( \ \div \ \)斜辺が\( \ \sin \theta \ \) （サイン）

【三角比①】で述べた通り，直角三角形は\( \ \theta = 20^\circ \ \)なら，高さ\( \ \div \ \)斜辺\( \ = 0.342 \ \)　です。
高さ\( \ \div \ \)斜辺 は，\( \ \sin \ \) （サイン）という記号を使って，このように書けます。

高さ\( \ \div \ \)斜辺\( \ =\sin \theta \ \)

\( \ \theta = 20^\circ \ \)なら，こうなります。
\[
\begin{eqnarray}
\sin 20^\circ &=&0.342 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

\( \ \sin 20^\circ \ \)は「サイン\( \ 20 \ \)ど」と読み，”三角形の高さを斜辺で割った値” という意味です。
どんな三角形かというと，\( \ \theta = 20^\circ \ \)の直角三角形です。

この\( \ \sin \ \) という記号がとっつきにくいので，もう少し説明します。
例えば，\( \ \sqrt{2} \ \)ってありますよね。”\( \ 2 \ \)乗して\( \ 2 \ \)になる数” です。
実際の数字は\( \ 1.414\cdots \ \)ですが，実際の数値よりも，\( \ 2 \ \)乗して\( \ 2 \ \)になることが重要なので，屋根のような記号を使って\( \ \sqrt{2} \ \)と書くのです。

\( \ \sin \ \) も同じです。”直角三角形の高さを斜辺で割った値” という意味の記号です。

\( \ \sin \ \) の直後が具体的な角度であれば，具体的な数値が存在します。

\[
\begin{eqnarray}
\sin 20^\circ &=&0.342 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

具体的な角度がなく，一般化して書く場合は，角度を\( \ \theta \ \)として，

\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

と書きます。
これは，”\( \ 2 \ \)乗して\( \ x \ \)になる数” のことを\( \ \sqrt{x} \ \)と書くのと同じです。

まとめると，”\( \ \sin \theta \ \) とは直角三角形の高さを斜辺で割った値” という意味です。

\( \ \sin \theta \ \)は，”斜辺\( \ 1 \ \)の直角三角形の高さ” と考えよう

高さ\( \ \div \ \)斜辺，という割り算の形は覚えにくいですね。
そこで，三角形を拡大または縮小コピーして，斜辺を\( \ 1 \ \)にします。そうすれば，高さがそのまま\( \ \sin \theta \ \)となります。
要するに，”\( \ \sin \theta \ \)とは，直角三角形を拡大・縮小して，斜辺を\( \ 1 \ \)にしたときの高さ” です。

底辺\( \ \div \ \)斜辺が\( \ \cos \theta \ \) （コサイン）。 “斜辺\( \ 1 \ \)の直角三角形の底辺” と考えよう

\( \ \sin \theta \ \)は高さを斜辺で割った値でしたが，
高さではなく，底辺を斜辺で割った値が，\( \ \cos \theta \ \)（コサイン）です。

底辺\( \ \div \ \)斜辺\( \ =\cos \theta \ \)

これも，斜辺\( \ 1 \ \)の直角三角形で考えましょう。

三角形を拡大または縮小して，斜辺を\( \ 1 \ \)にします。そうすれば，底辺がそのまま\( \ \cos \theta \ \)となります。

要するに，”\( \ \cos \theta \ \)とは，直角三角形を拡大・縮小して，斜辺を\( \ 1 \ \)にしたときの底辺” です。

\( \ \sin \theta \ \)と\( \ \cos \theta \ \)の覚え方

下図の通りアルファベットの\( \ s,c \ \)の筆記体を使った覚え方が一般的です。
\( \ \sin \theta \ \)は\( \ s \ \)の書き順に従って，”斜辺” 分の “高さ” ，
\( \ \cos \theta \ \)は\( \ c \ \)の書き順に従って，”斜辺” 分の “底辺” というわけです。

しかし筆記体は，\( \ 2002 \ \)年に中学校の学習指導要領から外れたので，習ってない方も多いでしょう。

そこで，日本語を使った覚え方を紹介します。
\( \ \sin \theta \ \)は，斜辺が\( \ 1 \ \)のときの高さですから，”たかさ，さいん” です。
\( \ \cos \theta \ \)は，斜辺が\( \ 1 \ \)のときの底辺，つまり横線ですから，”よこ，こさいん” です。

高さ\( \ \div \ \)底辺が\( \ \tan \theta \ \)（タンジェント）。”斜辺の傾き” と考えよう

最後に\( \ \tan \theta \ \)（タンジェント）を紹介します。高さを底辺で割った値のことです。

高さ\( \ \div \ \)底辺\( \ =\tan \theta \ \)

覚え方は，ひらがなの「た」を書くとき，一画目が横線，二画目が縦線ですよね。
したがって，「よこ（底辺）」　分の　「たて（高さ）」が\( \ \tan \theta \ \)です。

さて，\( \ \tan \theta \ \)が，高さ\( \ \div \ \)底辺ということは， \( \ \sin \theta，\cos \theta，\tan \theta \ \)には以下の関係が成り立ちます。

\[
\begin{eqnarray}
\tan \theta =\displaystyle \frac{高さ}{底辺} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{高さ}{斜辺}}{\displaystyle \frac{底辺}{斜辺}} = \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

上式の左辺と右辺より，

\[
\begin{eqnarray}
\tan \theta = \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

直角三角形では，\( \ \tan \theta \ \)は斜辺の傾きとなります。

練習問題

印をつけた角（角度を\( \ \theta \ \)とする）に注目した場合の，\( \ \sin \theta，\cos \theta，\tan \theta \ \)を求めましょう。