【三角比④】特別な直角三角形を紹介。sin30°，cos45°はいくつ？納得の導出方法を解説

三角定規は，特別な直角三角形

小学生の時に，三角定規を使っていましたよね。この\( \ 2 \ \)種類でした。

角度は上図の通り，二等辺三角形の方は\( \ 45^\circ \ \)と\( \ 45^\circ \ \)と\( \ 90^\circ \ \)，もう一つは\( \ 30^\circ \ \)と\( \ 60^\circ \ \)と\( \ 90^\circ \ \)です。
これは特別な直角三角形で，辺の長さの比がこうなります。

この角度と比の覚え方を解説します。

\( \ 45^\circ \ \)と\( \ 45^\circ \ \)の直角三角形は，正方形の半分

一辺の長さが\( \ 1 \ \)の正方形を，斜めに切って半分にします。食パンを切って三角サンドイッチを作るイメージです。

\( \ 90^\circ \ \)の半分ですから，角度は\( \ 45^\circ \ \)ですね。

底辺と高さは，正方形の一辺の長さと同じ，\( \ 1 \ \)です。

斜辺の長さは，三平方の定理より，

\[
\begin{eqnarray}
\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

したがって，辺の比は　\( \ 1:1:\sqrt{2} \ \)です。

\( \ 30^\circ \ \)と\( \ 60^\circ \ \)の直角三角形は，正三角形の半分

今度は一辺の長さが\( \ 1 \ \)の正三角形を，縦に半分にします。おにぎりを半分にするイメージです。

直角以外の角のうち，大きい角は正三角形と同じ\( \ 60^\circ \ \)，もう一つの角は，\( \ 60^\circ \ \)の半分の\( \ 30^\circ \ \)です。

斜辺は，正三角形の一辺の長さと同じ\( \ 1 \ \)です。

底辺は，その半分の\( \ \displaystyle \frac{1}{2} \ \)です。

高さは，三平方の定理より

\[
\begin{eqnarray}
\sqrt{1^2-\left(\displaystyle \frac{1}{2} \right) ^2}
= \sqrt{1-\displaystyle \frac{1}{4} }
= \sqrt{\displaystyle \frac{3}{4}}
= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

したがって，辺の比は　\( \ \displaystyle \frac{1}{2}:1:\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)です。

このままでもいいのですが，分数をなくすために\( \ 2 \ \)倍すると，\( \ 1:2:\sqrt{3} \ \)です。

角度を忘れたときの思い出し方

”三角定規” を思い出しましょう。

一つは二等辺三角形ですから簡単です。\( \ 90^\circ \ \)の半分の，\( \ 45^\circ \ \)と\( \ 45^\circ \ \)です。

問題はもう一つの三角定規です。
\( \ 10^\circ \ \)や\( \ 20^\circ \ \)だとかなり鋭いので，小学生に持たせるのは危険です。友達を突っついてケガをさせるでしょう。
\( \ 40^\circ \ \)だと，\( \ 45^\circ \ \)と近すぎます。
ということは\( \ 30^\circ \ \)です。

一方の角度が\( \ 30^\circ \ \)なら，もう一方は\( \ 90-30=60 \ \)ですから，\( \ 60^\circ \ \)です。
以上より，\( \ 30^\circ \ \)と\( \ 60^\circ \ \)です。

辺の長さの比を忘れたときの思い出し方

ノートに\( \ 1，2，3，4 \ \)と書いて，すべてにルートをつけましょう。

\[
\begin{eqnarray}
\sqrt{1}，\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{4} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

ここで，\( \ \sqrt{1} =1 \ \)，\( \ \sqrt{4} =2 \ \)ですから，こうなります。

\[
\begin{eqnarray}
1，\sqrt{2}，\sqrt{3}，2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

今，この\( \ 4 \ \)つの数字は大きさ順に並んでいます。
問題は，これらの数字がどの三角形のどの辺に対応するかです。

まず\( \ 2 \ \)つの三角形を重ねます。

一番短い辺が，一番小さい数字である\( \ 1 \ \)ですね。
一番長い辺が，一番大きい数字である\( \ 2 \ \)です。

あとは，\( \ 2 \ \)つの斜辺のうち，短い方が\( \ \sqrt{2} \ \)，長い方が\( \ \sqrt{3} \ \)です。

\( \ \sin 30^\circ \ \)はいくつ？

ここまでを踏まえて，\( \ \sin 30^\circ \ \)がいくつかを考えてみましょう。
まずは\( \ \theta = 30^\circ \ \)の直角三角形を描きます。

\( \ \theta = 30^\circ \ \)は特別な直角三角形で，辺の比が\( \ 1:2:\sqrt{3} \ \)です。

\( \ \sin \ \)とは，斜辺\( \ 1 \ \)の三角形の高さでしたね。覚え方は「たかさ，さいん」です。

斜辺が\( \ 1 \ \)になるように縮小すると，高さは\( \ \displaystyle \frac{1}{2} \ \)になるので，

\[
\begin{eqnarray}
\sin 30^\circ = \displaystyle \frac{1}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

\( \ \cos 45^\circ \ \)はいくつ？

続いて，\( \ \cos 45^\circ \ \)も求めましょう。
まずは\( \ \theta = 45^\circ \ \)の直角三角形を描きます。

\( \ \theta = 45^\circ \ \)は特別な直角三角形で，辺の比が\( \ 1:1:\sqrt{2} \ \)です。

\( \ \cos \ \)とは，斜辺\( \ 1 \ \)の三角形の底辺でしたね。覚え方は「よこ，こさいん」です。

斜辺が\( \ 1 \ \)になるように縮小すると，底辺は\( \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \ \)なので，

\[
\begin{eqnarray}
\cos 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

または\( \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \ \)も正解です。

\( \ \tan \theta \ \)はいくつ？

\( \ \tan \theta \ \)は，\( \ \sin \theta \ \)と\( \ \cos \theta \ \)を使って計算することができましたね。

覚えている方は，このまま練習問題に進んでください。
忘れてしまった方は，【三角比②】でご確認ください。

練習問題

表の空欄を埋めましょう。

	\( \ 30^\circ \ \)	\( \ 45^\circ \ \)	\( \ 60^\circ \ \)
\( \ \sin \theta \ \)	\( \ \displaystyle \frac{1}{2} \ \)	\( \ ( 1 ) \ \)	\( \ ( 2 ) \ \)
\( \ \cos \theta \ \)	\( \ ( 3 ) \ \)	\( \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \ \)	\( \ ( 4 ) \ \)
\( \ \tan \theta \ \)	\( \ ( 5 ) \ \)	\( \ ( 6 ) \ \)	\( \ ( 7 ) \ \)

特別な直角三角形における\( \ \sin \ \)，\( \ \cos \ \)の覚え方

すべて\( \ \displaystyle \frac{\sqrt{ \ \ }}{2} \ \)として，

\( \ \sin \ \)なら\( \ \sqrt{ \ \ } \ \)の中身が\( \ 1,2,3 \ \)と\( \ 1 \ \)ずつ増える，
\( \ \cos \ \)なら\( \ \sqrt{ \ \ } \ \)の中身が\( \ 3,2,1 \ \)と\( \ 1 \ \)ずつ減ると覚えましょう。

特別角（\( \ 30^\circ \ \)，\( \ 45^\circ \ \)，\( \ 60^\circ \ \)，）の三角比（\( \ \sin \ \)，\( \ \cos \ \)）

結局のところ，これら\( \ 3 \ \)つの数値しか登場しないので，覚えておきましょう。

\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2} ，\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} ，\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

これらの数値は，斜辺\( \ 1 \ \)の直角三角形の底辺や高さとなります。