【ベクトル⑦】RLC直列回路のインピーダンスをベクトル図を描いて導出

ここでは，いよいよ\( \ \mathrm {RLC} \ \)直列回路についてインピーダンスを導出します。

ベクトル図を使ってインピーダンスを導出

抵抗値\( \ R \ \)の抵抗，インダクタンス\( \ L \ \)のコイル，静電容量\( \ C \ \)のコンデンサが，角周波数\( \ \omega \ \)の交流電源に直列に接続された回路について，インピーダンスを導出します（図\( \ 1 \ \)）。

回路図に電圧ベクトルと電流ベクトルを書き込みましょう。

電源電圧を\( \ \dot{V} \ \)，抵抗にかかる電圧を\( \ \dot{V_{\mathrm {R}}} \ \)，コイルにかかる電圧を\( \ \dot{V_{\mathrm {L}}} \ \)，コンデンサにかかる電圧を\( \ \dot{V_{\mathrm {C}}} \ \)とします。

電流を\( \ \dot{I} \ \)とします。直列回路ですから，抵抗にもコイルにもコンデンサ同じ電流が流れます（図\( \ 2 \ \)）。

これから\( \ \dot{V} \ \)を\( \ \dot{I} \ \)の式で書くことで，インピーダンスを求めます。

まずは分かることを書きこもう

まずは回路図に分かることをどんどん書き込んでいきましょう（図\( \ 3 \ \)）。

抵抗では，電圧と電流は同相です。電圧の大きさは，\( \ V_{\mathrm {R}}=RI \ \)です。

コイルでは，電流が先，電圧が後で，位相差は\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)です。
電圧の大きさは，\( \ V_{\mathrm {L}}=\omega L I \ \)です。

コンデンサでは，電圧が先，電流が後で，位相差は\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)です。
電圧の大きさは，\( \ V_{\mathrm {C}}=\displaystyle \frac{I}{\omega C} \ \)です。

さらに電源電圧のベクトル\( \ \dot{V} \ \)については，以下の式が成立します。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{V} = \dot{V_{\mathrm {R}}}+\dot{V_{\mathrm {L}}}+\dot{V_{\mathrm {C}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

このようにして，回路図に分かる情報を書き込みます。

同じベクトルを見つけて向きをそろえる

直列回路ですから，電流ベクトル\( \ \dot{I} \ \)が同じです。
向きをそろえましょう（図\( \ 4 \ \)）。

電源電圧のベクトルを計算する

\( \ \dot{V} = \dot{V_{\mathrm {R}}} + \dot{V_{\mathrm {L}}} + \dot{V_{\mathrm {C}}} \ \)ですから，
\( \ 3 \ \)つの電圧ベクトルを足します。
まずは始点をそろえて描きましょう（図\( \ 5 \ \)）。

\( \ 3 \ \)つのベクトルを足す方法ですが，まずは\( \ 2 \ \)つのベクトルを足して，それから残った\( \ 1 \ \)つのベクトルを足します（ベクトル①）。

最初に足す\( \ 2 \ \)つのベクトルはどれを選んでもいいのですが，一直線上にあるベクトルがあれば，それを選ぶのが楽です。

今回の場合\( \ \dot{V_{\mathrm {L}}} \ \)と \( \ \dot{V_{\mathrm {C}}} \ \)が一直線上にあるので，これらを足しましょう（図\( \ 6 \ \)）。
ここでは\( \ V_{\mathrm {L}} \ \)が\( \ V_{\mathrm {C}} \ \)より大きいと仮定しています。

続いて，残った\( \ \dot{V_{\mathrm {R}}} \ \)と，\( \ \dot{V_{\mathrm {L}}}+\dot{V_{\mathrm {C}}} \ \)を足します。

よって\( \ \dot{V} \ \)は図\( \ 7 \ \)です。

\( \ \dot{V} \ \)の大きさ\( \ V \ \)は，三平方の定理を使って計算します。

ここで，\( \ V_{\mathrm {L}} \ \)と\( \ V_{\mathrm {C}} \ \)の，どちらが大きいかが分かりませんが，
絶対値の記号を使えば，どちらの場合であっても\( \ |V_{\mathrm {L}}-V_{\mathrm {C}}| \ \)と書くことができます（図\( \ 8 \ \)）。

また，三平方の定理を使うときに，絶対値を\( \ 2 \ \)乗することになるので，絶対値記号は外れます。

\[
\begin{eqnarray}
V&=&\sqrt{V_{\mathrm {R}}^2+ ( |V_{\mathrm {L}}-V_{\mathrm {C}} |)^2} \\[ 5pt ] &=&\sqrt{(RI)^2+\left(\omega L I-\displaystyle \frac{I}{\omega C}\right)^2}\\[ 5pt ] &=&\sqrt{R^2I^2+\left(\omega L-\displaystyle \frac{1}{\omega C}\right)^2I^2}\\[ 5pt ] &=&I\sqrt{R^2+\left(\omega L-\displaystyle \frac{1}{\omega C}\right)^2}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

インピーダンスを計算する

インピーダンス\( \ Z \ \)は電圧を電流で割った値ですから，このようになります。

\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\displaystyle \frac{V}{I} \\[ 5pt ] &=&\displaystyle \frac{I\sqrt{R^2+\left(\omega L-\displaystyle \frac{1}{\omega C}\right)^2}}{I} \\[ 5pt ] &=&\sqrt{R^2+\left(\omega L-\displaystyle \frac{1}{\omega C}\right)^2}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

位相差を計算する

位相差\( \ \phi \ \)も，直角三角形から簡単に導出できます（図\( \ 9 \ \)）。

\[
\begin{eqnarray}
\tan \phi =\frac{|V_{\mathrm {L}}-V_{\mathrm {C}}|}{V_{\mathrm {R}}}= \frac{|\omega L I-\displaystyle \frac{I}{\omega C}|}{RI} = \frac{|\omega L -\displaystyle \frac{1}{\omega C}|}{R}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

ここで，\( \ \phi \ \)はあくまでも位相”差”です。
遅れているのか進んでいるのかは，別途考えましょう。

\( \ V_{\mathrm {L}} > V_{\mathrm {C}} \ \)であれば，電圧は電流に対して進んでいます。

\( \ V_{\mathrm {L}} < V_{\mathrm {C}} \ \)であれば，電圧は電流に対して遅れています。

以上，\( \ \mathrm {RLC} \ \)直列回路についてインピーダンスを導出しました。

ベクトル図に慣れてきたでしょうか？

次回は，並列回路についてインピーダンスを導出します。
考え方の基礎は同じなので，ここまでを理解できた方は，苦労なく理解してもらえると思います。