【ベクトル⑨】対称三相交流のスター結線における線間電圧と相電圧の関係をベクトルで算出

ここでは，対称三相交流の\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線における線間電圧と相電圧の関係をベクトル図で算出します。
はじめに結論を述べると，線間電圧は相電圧の\( \ \sqrt{3} \ \)倍となるのですが，これを導きます。

対称三相交流とは

\( \ 3 \ \)つの単相交流電源からなる回路を三相交流回路といいます。

特にその\( \ 3 \ \)つが，同じ周波数・同じ電圧で、位相差が互いに\( \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi \ \)である場合は，対称三相交流といいます。

\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線とは

\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線とは，図\( \ 1 \ \)のように電源も負荷も\( \ \mathrm {Y} \ \)結線の回路です。

電源電圧のことを相電圧といい\( \ E \ \)と表します。
線の間の電圧のことを線間電圧といい，\( \ V \ \)と表します。

たとえば赤の閉ループに注目すると，相電圧\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ \dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)，線間電圧\( \ \dot{V_{\mathrm {ab}}} \ \)が含まれることが分かります（図\( \ 2 \ \)）。

ここで，相電圧と線間電圧がどのような関係になるかを，ベクトル図を使って求めましょう。

※実をいうとこの関係式は三角関数⑧にて解説済みです。しかし，今回はさらに詳しく解説します。

相電圧と線間電圧の関係

赤の閉ループは，相電圧\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ \dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)，線間電圧\( \ \dot{V_{\mathrm {ab}}} \ \)が含まれています。
つまりこの\( \ 3 \ \)つを足すと\( \ 0 \dots \ \)と言いたいところですが，符号に注意が必要です。

相電圧\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)は閉ループと同じ向きですからプラス，
相電圧\( \ \dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)と線間電圧\( \ \dot{V_{\mathrm {ab}}} \ \)は閉ループと逆向きですからマイナスです（図\( \ 3 \ \)）。

以上より，赤の閉ループについて，こちらの式が成立します。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{E_{\mathrm {a}}}+(-\dot{E_{\mathrm {b}}})+(-\dot{V_{\mathrm {ab}}})=0\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

そして今は，相電圧と線間電圧の関係を求めたいので，\( \ 線間電圧= \ \)の式に直します。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{V_{\mathrm {ab}}}=\dot{E_{\mathrm {a}}}-\dot{E_{\mathrm {b}}}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

ということで，\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}}-\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)をベクトル図を使って求めます。

相電圧どうしの大きさと位相差

①\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ \dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)を描きます。
対称三相交流ですから，大きさが同じで，位相差は\( \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi \ \)です。
回路図からベクトル図を描くと図\( \ 4 \ \)となります。
\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ \dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)の大きさが同じになるように描いてください。

②このままでもいいのですが，基準ベクトルを決めて，右向きになるように回転させます。
例えば\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)を基準ベクトルと決めて，これが右向きになるように回転します（図\( \ 5 \ \)）。
※ここは本当に好みなので，回転させなくても構いません。筆者としてはいつも基準を決めて右向きに描く方が，ベクトル図の取り扱いに慣れるのが早くなるように思います。

そして，計算したいのは\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}}-\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)です。
ベクトルの引き算はマイナスの足し算に直して考えるのでしたね（ベクトル②）。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{E_{\mathrm {a}}}-\dot{E_{\mathrm {b}}}=\dot{E_{\mathrm {a}}}+(-\dot{E_{\mathrm {b}}})\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

③まずは\( \ -\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)を描きます。\( \ \dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)の大きさはそのままで，向きを逆にしたものです（図\( \ 6 \ \)の③）。
\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ -\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)のなす角は\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)となります。

④そして\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ -\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)を足します。
平行四辺形の対角線でしたね（図\( \ 6 \ \)の④）。これが，線間電圧\( \ \dot{V_{\mathrm {ab}}} \ \)となります。

なお，今回は\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ -\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)の大きさが同じですから，ひし形です。

\( \ \dot{V_\mathrm {ab}} \ \)が描けたので，この大きさを幾何的に求めます。

⑤⑥平行四辺形（特に今回の場合はひし形）は向かい合う辺が平行ですから，図\( \ 7 \ \)のように角度が分かります。

⑦ここからは，ひし形の半分の三角形に注目します（図\( \ 8 \ \)の⑦）。

\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)と\( \ -\dot{E_{\mathrm {b}}} \ \)が同じ大きさですから，二等辺三角形です。

ここで，二等辺三角形にはこのような性質があります。
“頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する”

頂角というのは，同じ長さの\( \ 2\ \)辺に挟まれた角のことです。今回の場合は\( \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi \ \)の角が頂角です。

⑧これの二等分線ですから，\( \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi \ \)を\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)と\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)に分ける線です（図\( \ 8 \ \)の⑧の赤線）。

この赤線が，”底辺を垂直に二等分する”，つまり\( \ \dot{V_\mathrm {ab}} \ \)を垂直に二等分する，ということです。

⑨つまり，オレンジの三角形の半分，水色の三角形は特別角（\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)）の直角三角形となります（図\( \ 9 \ \)の⑨）。

\( \ \displaystyle \frac{\pi}{3} \ \)の直角三角形では，辺の比が　\( \ \displaystyle \frac{1}{2}:1:\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)となります（三角比④）。

⑩つまり，\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)の大きさを\( \ 1 \ \)とすると，\( \ \dot{V_\mathrm {ab}} \ \)の大きさは，\( \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ \)が\( \ 2 \ \)つ分，つまり\( \ \sqrt{3} \ \)です（図\( \ 9 \ \)）。

⑪まとめると図\( \ 10 \ \)です。
\( \ \dot{E_{\mathrm {a}}} \ \)の大きさを\( \ 1 \ \)とすると，\( \ \dot{V_\mathrm {ab}} \ \)の大きさは\( \ \sqrt{3} \ \)です。

\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}}=\sqrt{3} E_{\mathrm {a}}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

以上より，対称三相交流の\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線における，線間電圧は相電圧の\( \ \sqrt{3} \ \)倍であることが導けました。

練習問題

対称三相交流の\( \ \mathrm {\Delta-\Delta}\ \)結線における，線電流の大きさと相電流の大きさの関係を導きましょう。