【ベクトル①】ベクトルとは？ベクトルが同じとはどういうことか？足し算の考え方も解説

まずはベクトルとは何か，丁寧に解説します。

ベクトルとは「大きさ」と「向き」を同時に表すもの

ベクトルとは，「大きさ」と「向き」とを同時に表すものです。

例えば図\( \ 1 \ \)のように右上を向いたベクトルを考えます。

ある量がベクトルであることは，記号の上にドットを付けて表記します。
\( \ \dot{A} \ \)と書いて，「エーベクトル」と読みます。

※\( \ \vec{A} \ \)と表記する方法もあります。

矢印の始まりをベクトルの始点，終わりを終点と呼びます。

矢印の長さ，つまりベクトルの大きさは，ドットを取って表現します。
つまり\( \ \dot{A} \ \)の大きさは，\( \ A \ \)です。

そして，ベクトルにおいて大切なことは，「位置は関係がないこと」です。
ベクトルは「大きさ」と「向き」を表すものであり，矢印がどの場所から始まっているかは関係がないのです。

なぜベクトルが便利なのか

なぜベクトルを学習するのかと言うと，交流回路の計算に便利だからです。
交流電源の電圧は時間によって変化するため，サインカーブ（図\( \ 2 \ \)）で表せるのでしたね（三角関数①）。

そしてサインカーブは，「最大値」と「位相」で決まります（三角関数⑥）。
いうなれば，「大きさ」と「位相（角度）」の\( \ 2 \ \)つの情報でサインカーブを描くことができます。

この特徴が，「大きさ」と「向き」の\( \ 2 \ \)つの情報を同時に表すことができる，ベクトルと相性がよいのです（図\( \ 3 \ \)）。

今はピンと来ないかもしれませんが，学習を進めると，ベクトルの便利さを実感できると思います。

ベクトルが「同じ」とは？

ベクトルとは，大きさと向きを同時に表すものですから，ベクトルが「同じ」とは，「大きさ」も「向き」の両方が同じだということです。
では，図\( \ 4 \ \)で，\( \ \dot{A} \ \)と同じベクトルを探してみてください。

まずは大きさについて考えます。
大きさが同じなのは，\( \ \dot{B} \ \)，\( \ \dot{E} \ \)，\( \ \dot{F} \ \)です（図\( \ 5 \ \)）。

なお，ベクトルからドットを取ると，そのベクトルの「大きさ」という意味なので，このように描くことができます。

\[
\begin{eqnarray}
A=B=E=F\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

次に向きについて考えます。
向きが同じなのは，\( \ \dot{D} \ \)，\( \ \dot{F} \ \)，\( \ \dot{H} \ \)です（図\( \ 6 \ \)）。

以上より，大きさと向きの両方が同じものは，\( \ \dot{F} \ \)です。

つまり，\( \ \dot{A} \ \)と\( \ \dot{F} \ \)は，大きさも向きも同じため，”全く同じベクトル”ということができます。
始点と終点の位置が違いますが，前に述べた通り，ベクトルでは位置は関係ありません。
「大きさ」と「向き」の両方が同じなら，同じベクトルです。

したがって，\( \ \dot{A}=\dot{F} \ \)です。

言い換えれば，ベクトルは「自由に平行移動が可能」ということです（図\( \ 7 \ \)）。
ここはとても重要なので，確実におさえてください。

ベクトルの足し算：向きが同じまたは逆の場合

ここからは，ベクトルの足し算を学習します。
どんな場合も，終点と始点をつなぎ合わせて全体のスタートとゴールをつなぎ合わせる，というのが原則です。

まずは，向きが同じ場合で，\( \ \dot{A} +\dot{B} \ \)を考えます（図\( \ 8 \ \)）。

\( \ \dot{A} \ \)の終点と，\( \ \dot{B} \ \)の始点をつないで，全体のスタートとゴールをつなぎ合わせたら完成です。

続いて，向きが逆の場合です（図\( \ 9 \ \)）。

やはり終点と始点をつないで，全体のスタートとゴールをつなぎ合わせたら完成です。

では，向きが同じでも逆向きでもない場合はどうするのでしょうか。

ベクトルの足し算：向きが同じでも逆向きでもない場合

向きが同じでも逆向きでもない場合です。

この場合も，単純につなぎ合わせればよいのです。
\( \ \dot{A} \ \)の終点と，\( \ \dot{B} \ \)の始点をつないでから，全体のスタートとゴールをつなぎ合わせたら完成です（図\( \ 10 \ \)）。

ベクトルの足し算の考え方：慣れてきたら平行四辺形の対角線と考えよう

上で述べたとおり，ベクトルの足し算は，どんな場合も「矢印同士のつなぎ合わせ」です。

しかしここでは，ちょっと楽に解ける考え方をお伝えします。

電験の問題では，\( \ 2 \ \)つのベクトルの始点が同じ場所，というパターンが多いです。

このとき，基本である「矢印同士をつなぎ合わせる」に従えば，\( \ \dot{B} \ \)を平行移動させます（図\( \ 11 \ \)）。

ここで，移動前の\( \ \dot{B} \ \)と，移動後の\( \ \dot{B} \ \)に注目してください（図\( \ 12 \ \)）。

これらは平行です。平行移動させたのですから，当たり前ですね。

そして，長さも同じです。平行移動させただけですからね。

したがって，この四角形は必ず「平行四辺形」となります。

そして，\( \ \dot{A} +\dot{B} \ \)は，図\( \ 13 \ \)の通りです。

これって「平行四辺形の対角線」ですね。

以上をまとめると，始点が揃っている\( \ 2 \ \)つのベクトルを足し算するとき，
平行移動をさせて，終点と始点をつないで考えてもよいですが，
平行四辺形を描いて，その対角線と考えることもできます（図\( \ 14 \ \)）。

電験では始点が揃っている場合が多いので，平行四辺形の考え方を使うのが，早く解くことができ，おススメです。

\( \ 3 \ \)つのベクトルを足す場合

足すベクトルが\( \ 3 \ \)つの場合は，まずどれか\( \ 2 \ \)つを足し算してから，残りの\( \ 1 \ \)つを足します。
足し算するベクトルが\( \ 4 \ \)つ，\( \ 5 \ \)つとなっても同様です（図\( \ 15 \ \)）。

練習問題

\( \ (1) \ \)　\( \ \dot{A} +\dot{B} \ \)を求めよ（図\( \ 16 \ \)）。

\( \ (2) \ \)　\( \ \dot{A} +\dot{B} \ \)を求めよ（図\( \ 17 \ \)）。

\( \ (3) \ \)　\( \ \dot{A} +\dot{B} +\dot{C} \ \)を求めよ（図\( \ 18 \ \)）。