【ベクトル③】ベクトルが便利な理由と表記方法を解説。交流電源の電圧・電流の変化（サインカーブ）にベクトルが使える理由とは？

ここでは，電験においてベクトルが便利な理由を解説します。

【復習】交流電源の電圧・電流の変化を表すサインカーブとは

三角関数を学習したとき，なぜ三角関数を学ぶかというと，交流電源の電圧・電流が三角関数の一種であるサインカーブで変化するからだと説明しました（三角関数①）。

「サインカーブで変化する」とは，時間によって電圧や電流がこのように変わることです（図\( \ 1 \ \)）。

サインカーブとは何かというと，円運動のことでした。
円周上を一定の速度で動く点があるとして，
その点の動きのうち，縦方向（\( \ y \ \)軸方向）だけに注目したものがサインカーブです（図\( \ 2 \ \)）。
詳しくは三角関数③をご覧ください。

サインカーブとベクトルの共通点

前述の通り，サインカーブは円運動から生まれるものです。

次に，ベクトルとは何でしょうか。「大きさ」と「向き」を同時に表すものです。「位置」は関係ありません。

位置は関係ないのですから，原点に移動させても構いません（図\( \ 3 \ \)）。

そして，円周上の点は，ベクトルを使って表すことができます。
例えば図\( \ 4 \ \)の点\( \ \mathrm {P} \ \)であれば，原点が始点，点\( \ \mathrm {P} \ \)が終点のベクトルで表現できます。

円の半径がベクトルの大きさ，原点から点\( \ \mathrm {P} \ \)の方向が，ベクトルの向きになるのですね。

ちなみに，なにも円周上の点に限らず，座標上のすべての点をベクトルの終点とすることができます。
しかしここでは，円周上の点と考えておいた方が分かりやすいでしょう。

つまり，サインカーブもベクトルも，”円”が共通していることが分かります。

サインカーブの表現にベクトルが使える

以上をまとめると，

• 交流電源の電圧・電流はサインカーブで変化する
• サインカーブは円運動から生まれたもの
• 円周上の点はベクトルでも表現できる

となるので，交流電源の電圧・電流を，ベクトルを使って表すことができます。

例えば，電圧が図\( \ 5 \ \)のサインカーブで変化するとします。
最大値が\( \ V_{\mathrm {m}} \ \)，最小値が\( \ -V_{\mathrm {m}} \ \)です。

①電圧が\( \ 0 \ \)でこれから最大値に向かうとき（図\( \ 6 \ \)）。
円運動に戻すと座標は\( \ ( V_{\mathrm {m}} ,0 ) \ \)ですから，ベクトルは右向きです。

電圧が最大値のとき（図\( \ 7 \ \)）。
円運動に戻すと座標は\( \ ( 0,V_{\mathrm {m}} ) \ \)ですから，ベクトルは上向きです。

電圧が\( \ 0 \ \)でこれから最小値に向かうとき（図\( \ 8 \ \)）。
円運動に戻すと座標は\( \ ( -V_{\mathrm {m}},0 ) \ \)ですから，ベクトルは左向きです。

電圧が最小値のとき（図\( \ 9 \ \)）。
円運動に戻すと座標は\( \ ( 0,-V_{\mathrm {m}} ) \ \)ですから，ベクトルは上向きです。

このようにして，交流電源の電圧の変化をベクトルであらわすことができます（図\( \ 10 \ \)）。

ベクトルの向きは，時間とともに反時計回りに変わっていきます（図\( \ 11 \ \)）。

電圧・電流を同時に表す

ここから，電圧と電流の両方をベクトルで考えましょう。
電圧を黒，電流を赤とします。

電圧と電流の位相が同じ場合

まずは，電圧と電流の位相が同じ場合です（図\( \ 12 \ \)）。

位相が同じですから，\( \ 2 \ \)つのベクトルの向きは同じです（図\( \ 13 \ \)）。

始点をそろえてベクトル図を描くと図\( \ 14 \ \)となります。

\( \ 2 \ \)本が重なった状態で，ベクトルの向きが反時計回りに変わっていきます（図\( \ 15 \ \)）。

電圧と電流の位相が異なる場合

続いて，電流が遅れる場合です（図\( \ 16 \ \)）。

電圧ベクトルについてはこれまでと同様です（図\( \ 17 \ \)）。

電流ベクトルについても，電圧と同様に，円運動に戻せばベクトルの向きが分かります。

電流が最小値のとき，ベクトルは下向き。
電圧が\( \ 0 \ \)でこれから最大値に向かうとき，ベクトルは右向き，といった具合です（図\( \ 6～9 \ \)参照）。

電流ベクトルの変化は図\( \ 18 \ \)のようになります。

始点をそろえてベクトル図を描くと図\( \ 19 \ \)となります。

\( \ 2 \ \)本が一定の角度を保った状態で，ベクトルの向きが反時計回りに変わっていきます（図\( \ 20 \ \)）。

今回の例だと，時計の\( \ 3 \ \)時の針の形のままで，反時計回りに回るということです。

ベクトル図で位相差を表現する

ベクトル図で，電圧と電流の位相差を表す方法を解説します。

例えば，電流が電圧に対して\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)遅れるベクトル図を描いてみましょう。

①まずは，電流ベクトルと電圧ベクトルのうち，どちらかを基準ベクトルに決めます。
今回は，”電圧に対して”と言っているので，電圧ベクトルを基準と決めましょう。

②基準となるベクトルを，\( \ x \ \)軸の正方向，つまり右向きに置きます。

③続いて電流ベクトルを描きます。
\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)だけ遅れるベクトルです。
上向きと下向きどちらになるか分かるでしょうか。

サインカーブは円運動からできていると説明しました。回転は反時計周りです。
したがって，”遅れ”とは時計回りです。
“\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)だけ遅れる”とは，下向きとなります。

もし”進み”であれば，反時計回りに，位相差の分だけ回すことになります。
もともとの円運動が反時計回りだったことから連想してください。

以上より，電流が電圧に対して\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)遅れるベクトル図が描けました（図\( \ 21 \ \)）。

サインカーブとベクトル図

以上を整理すると，”電流が電圧に対して\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)遅れる回路”は，サインカーブとベクトル図で図\( \ 22 \ \)のように表現できます。

サインカーブであれば，時間の経過とともに\( \ x \ \)軸の正方向に進みます。
ベクトル図であれば，電流ベクトルと電圧ベクトルは角度を保ったまま，反時計周りにグルグルと回ります。

ベクトル図の便利さ

ここまでの説明で，サインカーブで表せる電流・電圧の情報を，ベクトル図でも表せることを解説しました。
しかし，”ベクトル図の方が便利だ”とは，まだ感じられないと思います。

ベクトル図が便利になるのは，電圧と電流の関係がもっと複雑になった場合，つまりもっと複雑な回路のときです。
サインカーブで考えると三角関数の複雑な計算が必要になってしまいますが，
ベクトル図で考えると，幾何の問題，つまり図形問題のように解くことができるのです。

ベクトルの大きさは実効値

ベクトルの大きさは，サインカーブの最大値，つまり瞬間的に最大の値となりそうですが，そうではありません。
一般的に，交流電源の電圧や電流の変化をベクトルで表すとき，ベクトルの大きさには，瞬時値ではなく実効値を使います。
実効値とは直流に換算した時の値のことで，この方が取り扱いに便利だからです。

実効値は瞬時値を\( \ \sqrt{2} \ \)で割ったものですから，ベクトルの大きさはこのようになります（図\( \ 23 \ \)）。

ベクトルの表記方法①極座標表示

ベクトルは大きさと向きをもつ量です。
例えば\( \ \dot{A} \ \)ベクトルが，大きさ\( \ 100 \ \)，角度が\( \ \pi \ \)であれば，次のように書くことができ，これを極座標表記といいます。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{A}=100 \angle \pi \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

一般式にすると，大きさ\( \ A \ \)，角度が\( \ \theta \ \)であれば，こちらの式になります（図\( \ 24 \ \)）。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{A}=A \angle \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

ベクトルの表記方法②直交座標表示

表記方法にはもう一種類あります。
ベクトルの始点を原点において，終点が座標上のどの点にくるかを表す方法です。
例えば\( \ \dot{A} \ \)ベクトルが，大きさ\( \ 100 \ \)，角度が\( \ \pi \ \)だとしましょう。
始点を原点におくと，終点は\( \ ( 100 , 0 ) \ \)となるので，このように表記します。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{A}=(100,0) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

一般式にすると，こちらです（図\( \ 25 \ \)）。

\[
\begin{eqnarray}
\dot{A}=(\mathrm {x},\mathrm {y}) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]