【ベクトル⑧】RL並列回路及びRLC並列回路インピーダンスをベクトル図で導出。アドミタンスの解説も

直列回路に続いて，今回は並列回路についてインピーダンスを導出します。

※なお，並列回路ではアドミタンスという量も登場します。
アドミタンスが何かについては，一度インピーダンスを導出してから，詳しく解説します。

本文では\( \ \mathrm {RL} \ \)並列回路について解説し，練習問題で\( \ \mathrm {RLC} \ \)並列回路の問題を解きます。
考え方の基礎は，直列回路と同じです。ではやってみましょう。

\( \ \mathrm {RL} \ \)並列回路

抵抗とコイルが並列接続された回路です（図\( \ 1 \ \)）。
抵抗値\( \ R \ \)の抵抗，インダクタンス\( \ L \ \)のコイルが，角周波数\( \ \omega \ \)の交流電源に並列に接続されています。

まずは回路図に電圧ベクトルと電流ベクトルを書き込みましょう。
電源電圧を\( \ \dot{V} \ \)とします。並列回路ですから，抵抗にもコイルにも同じ電圧がかかります。
ですから\( \ \dot{V_{\mathrm {R}}} \ \)，\( \ \dot{V_{\mathrm {L}}} \ \)とおく必要はありません。

そして，分岐前の電流を\( \ \dot{I} \ \)とします。抵抗に流れる分を\( \ \dot{I_{\mathrm {R}}} \ \)，コイルに流れる分を\( \ \dot{I_{\mathrm {L}}} \ \)とします（図\( \ 2 \ \)）。

これから\( \ \dot{V} \ \)を\( \ \dot{I} \ \)の式で書くことで，インピーダンスを求めます。

まずは分かることを書きこもう

まずは回路図に分かることを書き込みましょう（図\( \ 3 \ \)）。

抵抗では，電圧と電流は同相です。電圧と電流の関係は，\( \ V=RI_{\mathrm {R}} \ \)です。

コイルでは，電流が先，電圧が後で，位相差は\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)です。
電圧と電流の関係は，\( \ V=\omega L I_{\mathrm {L}} \ \)です。

さらに電流ベクトル\( \ \dot{I} \ \)については，以下の式が成立します。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{I} = \dot{I_{\mathrm {R}}}+\dot{I_{\mathrm {L}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

このようにして，回路図に分かる情報を書き込みます。

同じベクトルを見つけて向きをそろえる

並列回路ですから，電圧ベクトル\( \ \dot{V} \ \)が同じです。
向きはそろっていますから，そのままで大丈夫です（図\( \ 4 \ \)）。

電流ベクトルを計算する

\( \ \dot{I} = \dot{I_{\mathrm {R}}} + \dot{I_{\mathrm {L}}}\ \)ですから，\( \ 2 \ \)つの電流ベクトルを足します。

始点をそろえて，平行四辺形の対角線を描くのでしたね（ベクトル①）。
※今回の場合は位相差が\( \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ \)なので長方形になります。

よって\( \ \dot{I} \ \)は図\( \ 5 \ \)となります。

\( \ \dot{I} \ \)の大きさ\( \ I \ \)は，三平方の定理を使って計算できます（図\( \ 6 \ \)）。

\[
\begin{eqnarray}
I&=&\sqrt{I_{\mathrm {R}}^2+I_{\mathrm {L}}^2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

ここで，抵抗における電圧と電流の関係は\( \ V=RI_{\mathrm {R}} \ \)ですから，\( \ 電流= \ \)の形に直すと，

\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}}=\displaystyle \frac{V}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

そして，コイルにおける電圧と電流の関係は\( \ V=\omega L I_{\mathrm {L}} \ \)ですから，

\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {L}}=\displaystyle \frac{V}{\omega L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

これらを代入します。

\[
\begin{eqnarray}
I&=&\sqrt{I_{\mathrm {R}}^2+I_{\mathrm {L}}^2} \\[ 5pt ] &=&\sqrt{\left(\displaystyle \frac{V}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{V}{\omega L}\right)^2} \\[ 5pt ] &=&\sqrt{V^2\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+V^2\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2} \\[ 5pt ] &=&V\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

インピーダンスを計算する

インピーダンス\( \ Z \ \)は電圧を電流で割った値ですから，このようになります。

\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\displaystyle \frac{V}{I} \\[ 5pt ] &=&\displaystyle \frac{V}{V\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2}} \\[ 5pt ] &=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

位相差を計算する

位相差\( \ \phi \ \)も，直角三角形から簡単に導出できます（図\( \ 7 \ \)）。

\[
\begin{eqnarray}
\tan \phi =\frac{I_{\mathrm {L}}}{I_{\mathrm {R}}}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{V}{\omega L}}{\displaystyle \frac{V}{R} }
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}{\displaystyle \frac{1}{R} }
= \displaystyle \frac{R}{\omega L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

抵抗は位相差なし，コイルは電圧が先，電流が後です。
ですから抵抗とコイルの回路では，電圧が先，電流が後です。
並列回路では電圧が共通なので，電圧を基準として，”電流は電圧より遅れる”と表現をするのが良いでしょう。

以上より，位相差についての解答はこうなります。

電流は電圧に対して\( \ \phi \ \)だけ遅れる。
\( \ \phi \ \)とは下式を満たす角度。

\[
\begin{eqnarray}
\tan \phi = \displaystyle \frac{R}{\omega L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

以上，抵抗とコイルの並列回路についてインピーダンスと位相差を計算することができました。

“電流の流れやすさ”を表す量ーアドミタンスー

もう一度インピーダンス\( \ Z \ \)を見てみましょう。

\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

分数の中に分数が入った，複雑な式ですね。
こうなる理由はもちろん，オームの法則で，\( \ 電流=電圧÷抵抗 \ \)だからです。

インピーダンス\( \ Z \ \)はベクトル⑤で説明した通り，”電流の流れにくさ”を表すもので，回路全体を把握するのに便利な量ですが，並列回路の場合は複雑な式になってしまいます。

そこで，”流れにくさ”と逆の量を定義します。つまり”電流の流れやすさ”です。

これをアドミタンスといい，記号は\( \ Y \ \)，インピーダンスの逆数となります。

\[
\begin{eqnarray}
Y&=&\displaystyle \frac{1}{Z}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

アドミタンスは英語で書くと\( \ \mathrm {admittance} \ \)であり，「受け入れ」「入場許可」という意味の英単語です。動詞形の\( \ \mathrm {admit} \ \)なら，「受け入れる」「認める」という意味です。

記号がなぜ\( \ Y \ \)なのかですが，アドミタンスの\( \ \mathrm {A} \ \)はアンペアで使われているので，単純に残ったアルファベットだったといわれています。

単位については，インピーダンスの単位が\( \ \mathrm{\Omega} \ \)（オーム）ですから，アドミタンスの単位は\( \ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Omega}} \ \)となりますが，この単位のことを\( \ \mathrm{S} \ \)と表します。
読み方は”ジーメンス”です。

日本人としてはなぜジーメンスが\( \ \mathrm{S} \ \)なのか分かりませんよね。
これは，ドイツの物理学者の名前が由来です。\( \ \mathrm{siemens} \ \)と書いてジーメンスと読む名前なのです。

並列回路ではアドミタンスを使うとシンプル

アドミタンスは回路全体の”電流の流れやすさ”を表す量ですから\( \ 電流=アドミタンス \times 電圧 \ \)です。

今回の\( \ \mathrm {RL} \ \)並列回路でいえば，

\[
\begin{eqnarray}
I&=&V\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

ですから，アドミタンス\( \ Y \ \)は次の式で表せます。

\[
\begin{eqnarray}
Y&=&\sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{R}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{\omega L}\right)^2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

並列回路では，アドミタンスを使うことにより，計算が楽になります。

以上，\( \ \mathrm {RL} \ \)並列回路に対して，ベクトル図を使って，インピーダンスおよびアドミタンスを導出しました。

アドミタンスの話は直列回路には出てこないので，難しく感じたかもしれません。
しかし，インピーダンスを出すまでの過程は，直列回路と同じ考え方です。
ベクトル図を使って解いていきましょう。

では最後に，練習問題として，\( \ \mathrm {RLC} \ \)並列回路のアドミタンスを，ベクトル図を使って求めてみましょう。

練習問題

抵抗値\( \ R \ \)の抵抗，インダクタンス\( \ L \ \)のコイル，静電容量\( \ C \ \)のコンデンサが，角周波数\( \ \omega \ \)の交流電源に並列に接続された回路について，アドミタンスを導出しましょう（図\( \ 8 \ \)）。

以上，ベクトル図を用いることで，\( \ \mathrm {RLC} \ \)直列回路と並列回路について電圧と電流の関係を導きました。
これを三角関数で解くと非常に大変ですから，ベクトル図の便利さを感じていただけたのではないでしょうか。