《機械》〈パワーエレクトロニクス〉[H29:問2] 三相電圧形PWMインバータに関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★★★★(難しい)

次の文章は,三相電圧形\( \ \mathrm {PWM} \ \)インバータに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1の三相電圧形\( \ \mathrm {PWM} \ \)インバータに三角波比較\( \ \mathrm {PWM} \ \)制御を適用した場合の三角波\( \ v_{\mathrm {tri}} \ \)と\( \ \mathrm {u} \ \)相の信号波\(v_{\mathrm {u}}^{*}\),\( \ \mathrm {u} \ \)相の電圧\( \ v_{\mathrm {u}} \ \)の波形を図2に示す。ここで,\( \ v_{\mathrm {tri}} \ \)の波高値を\( \ \mathrm{1} \ \),直流電圧を\( \ E_{\mathrm {d}} \ \)とする。この制御法では,\( \ v_{\mathrm {tri}} \ \)と\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)とを比較して\( \ \fbox {  (1)  } \ \)期間に\( \ S_{\mathrm {u}} \ \)をオンし,それ以外の期間は\( \ S_{\mathrm {x}} \ \)をオンする。各相の信号波を,基本波周波数\( \ \omega \ \)の正弦波として次式で与える。
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle v_{\mathrm {u}}^{*}=A\sin \omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {v}}^{*}=A\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {w}}^{*}=A\sin \left( \omega t+\frac {2}{3}\pi \right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] このとき,\( \ 0\lt A ≦ 1 \ \)であれば,\( \ v_{\mathrm {u}} \ \)の\( \ \fbox {  (2)  } \ \)成分の位相は\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)と同じで,振幅は\( \ A \ \)に比例する。\( \ A=1 \ \)の場合,\( \ v_{\mathrm {u}} \ \)の基本波実効値は\( \ \fbox {  (3)  } \ \)となる。
ここで,図3のように,\( \ 3 \ \)次高調波成分を重畳した信号波を次式で与える。
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle v_{\mathrm {u}}^{*}=B\sin \omega t+\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {v}}^{*}=B\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {w}}^{*}=B\sin \left( \omega t+\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {B}{6}\sin 3\omega t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] このとき,\( \ \fbox {  (4)  } \ \)には\( \ 3 \ \)次高調波成分は現れない。そして,\( \ B \ \)を\( \ \mathrm{1} \ \)よりも大きく,\( \ B=\fbox {  (5)  } \ \)まで増加しても,\( \ v_{\mathrm {u}} \ \)の基本波実効値は\( \ B \ \)に比例する。


〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {E_{\mathrm {d}}}{\sqrt {3}}  &(ロ)& \frac {6}{5}   &(ハ)& \frac {v_{\mathrm {u}}+v_{\mathrm {v}}+v_{\mathrm {w}}}{3} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {4}{\pi }   &(ホ)& \frac {2}{\sqrt {3}}   &(ヘ)& 三角波周波数 \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {E_{\mathrm {d}}}{2\sqrt {2}}   &(チ)& \frac {E_{\mathrm {d}}}{2}   &(リ)& v_{\mathrm {tri}}が大きい \\[ 5pt ] &(ヌ)& v_{\mathrm {u}}   &(ル)& 側帯波周波数   &(ヲ)& v_{\mathrm {u}}-v_{\mathrm {v}} \\[ 5pt ] &(ワ)& v_{\mathrm {u}}^{*}が大きい   &(カ)& 信号波周波数   &(ヨ)& v_{\mathrm {u}}^{*}とv_{\mathrm {tri}}が等しい
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

パワーエレクトロニクスの問題は,どのような出力になるかイメージできるかどうかが重要です。参考として図2-1にAの値が変化した時の出力波形の波形を示します。

【解答】

(1)解答:ワ
図1において,\( \ v_{\mathrm {u}} \ \)の電位は\( \ S_{\mathrm {u}} \ \)が\( \ \mathrm {ON} \ \)の時\( \ \displaystyle \frac {E_{\mathrm {d}}}{2} \ \),\( \ S_{\mathrm {x}} \ \)が\( \ \mathrm {ON} \ \)の時\( \ \displaystyle -\frac {E_{\mathrm {d}}}{2} \ \)となる。
図2で出力が\( \ \displaystyle \frac {E_{\mathrm {d}}}{2} \ \)となるのは,\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \gt v_{\mathrm {tri}} \ \)となる時である。よって,\( \ S_{\mathrm {u}} \ \)を\( \ \mathrm {ON} \ \)するのは\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \gt v_{\mathrm {tri}} \ \)の期間である。

(2)解答:カ
図2-1の通り\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)の位相は\( \ v_{\mathrm {u}} \ \)周波数成分と等しくなります。

(3)解答:ト
周波数成分の出力は
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {u}} &=& \frac {E_{\mathrm {d}}}{2}v_{\mathrm {u}}^{*} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {d}}}{2}A\sin \omega t
\end{eqnarray}
\] となり,実効値は振幅の\( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}} \ \)倍となるので,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{\mathrm {d}}A}{2\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] となります。よって,\( \ A=1 \ \)の時の実効値は
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{d}}{2\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] となります。

(4)解答:ヲ
\( \ 3 \ \)次高調波成分を重畳した信号波の出力は,
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle v_{\mathrm {u}}=\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}B\sin \omega t+\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {v}}=\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}B\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {w}}=\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}B\sin \left( \omega t+\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}\frac {B}{6}\sin 3\omega t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] となる。これより,\( \ v_{\mathrm {u}}-v_{\mathrm {v}} \ \)は\( \ 3 \ \)次高調波成分が現れないことが分かる。

(5)解答:ホ
\( \ \mathrm {PWM} \ \)の出力波形が\( \ B \ \)に比例するためには信号波\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)の最大値が\( \ 1 \ \)を超えないようにしなければならない。ここで,\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)の最大値を求めるため\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)を微分すると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {dv_{\mathrm {u}}^{*}}{d\omega t}=B\cos \omega t+\frac {B}{2}\cos 3\omega t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ \displaystyle \frac {dv_{\mathrm {u}}^{*}}{d\omega t}=0 \ \)となる\( \ \omega t \ \)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
B\cos \omega t+\frac {B}{2}\cos 3\omega t &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}\cos (2\omega t +\omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(\cos 2\omega t \cos \omega t-\sin 2\omega t \sin \omega t ) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}((\cos ^{2}\omega t-\sin ^{2}\omega t)\cos \omega t-2\sin \omega t \cos \omega t \sin \omega t ) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(\cos ^{3}\omega t-3\sin ^{2}\omega t\cos \omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(\cos ^{3}\omega t-3(1-\cos ^{2}\omega t) \cos \omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(4\cos ^{3}\omega t-3 \cos \omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] 2B\cos ^{3}\omega t-\frac {B}{2} \cos \omega t &=& 0 \\[ 5pt ] \cos \omega t (2B\cos \omega t+1)(2B\cos \omega t+1) &=& 0 \\[ 5pt ] \cos \omega t &=& 0,\pm \frac {1}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \( \ \displaystyle 0 ≦ \omega t ≦ \frac {1}{2} \ \)においては,
\[
\begin{eqnarray}
\omega t &=& \frac {\pi }{3},\frac {\pi }{2},\frac {2\pi }{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。図3より,\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)が最大値となるのは\( \ \displaystyle \omega t = \frac {\pi }{3},\frac {2\pi }{3} \ \)の時であるので,\( \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ \)の最大値は,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {u}}^{*} \left( \frac {\pi}{3} \right) &=&B\sin \frac {\pi}{3}+\frac {B}{6}\sin \left( 3\cdot \frac {\pi}{3}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}}{2}B \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって\( \ v_{u}^{*} \ \)が\( \ 1 \ \)を超えない\( \ B \ \)の最大値は,
\[
\begin{eqnarray}
B=\frac {2}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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