【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は， 三相交流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切な数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。
図のように，実効値が\( \ 400 \ \mathrm {[V]} \ \)である対称三相電源\( \ {\dot E}_{ab}=400∠0° \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{bc}=400∠-120° \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{ca}=400∠-240° \ \mathrm {[V]} \ \)が，\( \ \Delta \ \)形の三相負荷に接続されている。この負荷において，抵抗は\( \ R=24 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，誘導リアクタンスは\( \ X=7 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)である。また，この回路には，実効値を指示する\( \ 1 \ \)個の理想的な交流電流計と\( \ 2 \ \)個の理想的な交流電圧計が図のように接続されている。このとき，電流計の指示値は\( \ \fbox { （１） } \ \mathrm {[A]} \ \)，この負荷の三相有効電力は\( \ \fbox { （２） } \ \mathrm {[kW]} \ \)，三相無効電力は\( \ \fbox { （３） } \ \mathrm {[kvar]} \ \)となる。さらに，図の\( \ 2 \ \)個の電圧計の指示値は，\( \ V_{1}=\fbox { （４） } \ \mathrm {[V]} \ \)及び\( \ V_{2}=\fbox { （５） } \ \mathrm {[V]} \ \)である。
〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 173 &（ロ）& 112 &（ハ）& 27.7 \\[ 5pt ]
&（ニ）& 48.0 &（ホ）& 5.38 &（ヘ）& 1.79 \\[ 5pt ]
&（ト）& 6.14 &（チ）& 292 &（リ）& 9.23 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 384 &（ル）& 16.0 &（ヲ）& 6.40 \\[ 5pt ]
&（ワ）& 400 &（カ）& 321 &（ヨ）& 18.4 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
三相平衡負荷を接続した回路の電圧，電流，電力を求める問題です。
\( \ 1 \ \)種では三相不平衡負荷の計算が出題されることが多いですが，本問は三相平衡負荷に関する問題でした。完答も狙える問題ですが語群から選択肢が全く絞れないので，実力がそのまま点数に現れる厳しい問題です。
1.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)
ベクトルオペレータ\( \ a \ \)は，\( \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)で定義される演算子であり，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} \\[ 5pt ]
&=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} \\[ 5pt ]
&=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} \\[ 5pt ]
&=& 1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。上記より，
\[
\begin{eqnarray}
\overline {a} &=& a^{2} \\[ 5pt ]
1+a+a^{2}&=& 0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることがわかります。
2.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。
3.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ]
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。
4.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係
図6のような三相対称電源がある時，線間電圧と相電圧の関係は図7のベクトル図のようになり，線間電圧の大きさ\( \ V \ \)は相電圧の大きさ\( \ E \ \)と比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {bc}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {ca}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)進みであることが分かります。
5.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係
図8のような三相対称電源がある時，線電流と相電流の関係は図9のベクトル図のようになり，線電流の大きさは相電流の大きさと比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {b}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {c}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)遅れであることが分かります。
【解答】
(1)解答：ハ
\( \ R=24 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と\( \ X=7 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の合成インピーダンス\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z &=&\sqrt {R^{2}+X^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {24^{2}+7^{2}} \\[ 5pt ]
&=&25 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，図10に示す閉回路にキルヒホッフの法則を適用すると，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)間の電流の大きさ\( \ I_{ab} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{ab} &=&\frac {E_{ab}}{Z} \\[ 5pt ]
&=&\frac {400}{25} \\[ 5pt ]
&=&16 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。本問の回路は三相平衡負荷であるから，電流計の指示値\( \ I_{a} \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「5.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I_{a} &=&\sqrt {3}I_{ab} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 16 \\[ 5pt ]
&≒&27.71 → 27.7 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ヨ
(1)より，各抵抗に流れる電流は，\( \ I_{ab}=16 \ \mathrm {[A]} \ \)なので，三相有効電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3RI_{ab}^{2} \\[ 5pt ]
&=&3\times 24 \times 16^{2} \\[ 5pt ]
&=&18 \ 432 \ \mathrm {[W]} → 18.4 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ホ
(2)と同様に，三相無効電力\( \ Q \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&3XI_{ab}^{2} \\[ 5pt ]
&=&3\times 7 \times 16^{2} \\[ 5pt ]
&=&5 \ 376 \ \mathrm {[var]} → 5.38 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヌ
ワンポイント解説「1.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)」の通り\( \ {\dot E}_{ab} \ \mathrm {[V]} \ \)を基準として各電圧をベクトルオペレータで表すと，\( \ {\dot E}_{ab}=400 \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{bc}=400a^{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{bc}=400a \ \mathrm {[V]} \ \)となり，図11に示すように電圧\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は\( \ 2 \ \)つの抵抗の電圧降下の和であるから，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{1} &=&\frac {R}{R+\mathrm {j}X}{\dot E}_{ab}+\frac {R}{R+\mathrm {j}X}{\dot E}_{ca} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R}{R+\mathrm {j}X}\left( {\dot E}_{ab}+{\dot E}_{ca} \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {24}{24+\mathrm {j}7}\times \left( 400+400a \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {24}{24+\mathrm {j}7}\times \left( -400a^{2} \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，その大きさ\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
V_{1} &=&\frac {24}{\sqrt {24^{2}+7^{2}}}\times 400 \\[ 5pt ]
&=&384 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：チ
図12に示すように電圧\( \ {\dot V}_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)は抵抗と誘導リアクタンスの電圧降下の和であるから，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{2} &=&\frac {R}{R+\mathrm {j}X}{\dot E}_{bc}+\frac {\mathrm {j}X}{R+\mathrm {j}X}{\dot E}_{ab} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{R+\mathrm {j}X}\left( R{\dot E}_{bc}+\mathrm {j}X{\dot E}_{ab} \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{24+\mathrm {j}7}\times \left( 24\times 400a^{2}+\mathrm {j}7\times 400 \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{24+\mathrm {j}7}\times \left\{ 9 \ 600\times \left( -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right)+\mathrm {j}2 \ 800 \right\} \\[ 5pt ]
&≒&\frac {-4 \ 800-\mathrm {j}5 \ 514}{24+\mathrm {j}7} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，その大きさ\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
V_{2} &=&\frac {\sqrt {{4 \ 800}^{2}+{5 \ 514}^{2}}}{\sqrt {24^{2}+7^{2}}} \\[ 5pt ]
&≒&\frac {7 \ 311}{25} \\[ 5pt ]
&≒&292 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん