《電力》〈水力〉[R05:問1]水車の基本特性と公式の導出に関する計算・空欄穴埋問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，水車の基本特性に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

水車はランナの形状が$ \ \fbox {　（１）　} \ $であれば，その出力に関係なく，同じ特性を持つ。今，二つの$ \ \fbox {　（１）　} \ $形状のランナにおいて，流量を$ \ Q_{1} \ $，$ \ Q_{2} \ \mathrm {[m^{3} / s ]} \ $，落差を$ \ H_{1} \ $，$ \ H_{2} \ \mathrm {[m]} \ $，回転速度を$ \ N_{1} \ $，$ \ N_{2} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ $，ランナの直径を$ \ D_{1} \ $，$ \ D_{2} \ \mathrm {[m]} \ $，出力を$ \ P_{1} \ $，$ \ P_{2} \ \mathrm {[kW]} \ $とする。

ランナに入る水の流速は$ \ \fbox {　（２）　} \ $に比例するとともに，ランナの周速度は流速に比例し，水の流量は流速と流入面積に比例するものとする。

このとき，水車の出力の比$ \ \displaystyle \frac {P_{1}}{P_{2}}=\frac {Q_{1}H_{1}}{Q_{2}H_{2}}= \ \fbox {　（３）　} \ $が成立する。

同時に，水車の回転速度は周速度に比例し，直径に反比例することから，ここに$ \ H_{1}=1 \ \mathrm {m} \ $，$ \ P_{1}=1 \ \mathrm {kW} \ $，$ \ H_{2}=50 \ \mathrm {m} \ $，$ \ P_{2}=10 \ 000 \ \mathrm {kW} \ $とすれば，$ \ N_{1} \ $は$ \ N_{2}\times \ \fbox {　（４）　} \ $で表される。この$ \ N_{1} \ $のことを$ \ \fbox {　（５）　} \ $という。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　類似　　　　　&（ロ）&　落差の平方根　　　　　&（ハ）&　ランナの直径 \\[ 5pt ] &（ニ）&　無拘束速度　　　　　　　&（ホ）&　\left( \frac {D_{1}}{D_{2}}\right) \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {1}{2}} 　　　　　&（ヘ）&　14.1 \\[ 5pt ] &（ト）&　同期速度　　　　　&（チ）&　対称　　　　　　　&（リ）&　\left( \frac {D_{1}}{D_{2}}\right) ^{2} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {1}{2}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　落差　　　　　&（ル）&　2.00　　　　　　&（ヲ）&　比速度 \\[ 5pt ] &（ワ）&　0.75　　　　　&（カ）&　\left( \frac {D_{1}}{D_{2}}\right) ^{2} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {3}{2}}　　　　　&（ヨ）&　相似 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

水車の比速度を定量的に求める問題です。
(3)，(4)の問題読解や計算にやや時間を要する問題です。(4)に関しては比速度の定義式を覚えておき，そこから計算すれば試験対策としては十分かと思います。

1.比速度の定義
水車の形状を相似に保ったまま大きさを小さくし，$ \ 1 \ \mathrm {[m]} \ $の有効落差で$ \ 1 \ \mathrm {[kW]} \ $の出力を発生するときの回転速度を言います。定格回転数を$ \ n \ \mathrm {[min^{-1}]} \ $，水車の出力を$ \ P \ \mathrm {[kW]} \ $，有効落差を$ \ H \ \mathrm {[m]} \ $とすると，比速度$ \ n_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[m\cdot kW]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
n_{\mathrm {s}} &=&n \cdot \frac {\displaystyle P^{\frac {1}{2}}}{\displaystyle H^{\frac {5}{4}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.ベルヌーイの定理
水力発電所の水路において，流速$ \ v \ \mathrm {[m／s]} \ $，圧力$ \ p \ \mathrm {[Pa]} \ $，水の密度$ \ \rho \ \mathrm {[kg／m^{3}]} \ $，重力加速度$ \ g \ \mathrm {[m／s^{2}]} \ $とすると，位置水頭は$ \ h \ \mathrm {[m]} \ $，圧力水頭は$ \ \displaystyle \frac {p}{\rho g} \ \mathrm {[m]} \ $，速度水頭は$ \ \displaystyle \frac {v^{2}}{2g} \ \mathrm {[m]} \ $で表され，これらの総和はエネルギー保存則によりどの場所でも等しくなります。
\[
\begin{eqnarray}
h+\frac {p}{\rho g}+\frac {v^{2}}{2g}&=&一定 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)解答：ヨ
題意より解答候補は，（イ）類似，（チ）対称，（ヨ）相似，になると思います。
ワンポイント解説「1.比速度の定義」でもお話している通り，水車はランナの形状が相似であれば，その出力に関係なく，同じ特性を持ちます。

(2)解答：ロ
題意より解答候補は，（ロ）落差の平方根，（ハ）ランナの直径，（ヌ）落差，等になると思います。
ワンポイント解説「2.ベルヌーイの定理」の通り，位置水頭$ \ H \ \mathrm {[m]} \ $が全て速度水頭に変化するとすれば，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {v^{2}}{2g} \\[ 5pt ] v^{2}&=&2gH \\[ 5pt ] v&=&\sqrt {2gH} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，流速$ \ v \ \mathrm {[m / s]} \ $は落差の平方根に比例します。

(3)解答：カ
題意の通り，水の流量$ \ Q \ \mathrm {[m^{3} / s ]} \ $は流速$ \ v \ \mathrm {[m / s]} \ $と流入面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $に比例し，流入面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $は直径$ \ D \ \mathrm {[m]} \ $に対し，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\pi \left( \frac {D}{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &∝&D^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるため，水車の出力の比$ \ \displaystyle \frac {P_{1}}{P_{2}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{1}}{P_{2}}&=&\frac {Q_{1}H_{1}}{Q_{2}H_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {v_{1} S_{1}\cdot {v_{1}}^{2}}{v_{2}S_{2}\cdot {v_{2}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {{D_{1}}^{2}{v_{1}}^{3}}{{D_{2}}^{2}{v_{2}}^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，(2)解答式より，$ \ v ∝\sqrt {H} \ $なので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{1}}{P_{2}}&=&\frac {{D_{1}}^{2}{H_{1}}^{\frac {3}{2}}}{{D_{2}}^{2}{H_{2}}^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {D_{1}}{D_{2}}\right) ^{2} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ワ
題意の通り，水車の回転速度$ \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ $は周速度に比例し，直径$ \ D \ \mathrm {[m]} \ $に反比例するが，周速度は流速$ \ v \ \mathrm {[m / s]} \ $に比例し落差$ \ H \ \mathrm {[m]} \ $の平方根に比例するため，
\[
\begin{eqnarray}
N&∝&\frac {\sqrt {H}}{D} \\[ 5pt ] D&∝&\frac {\sqrt {H}}{N} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，(3)解答式は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{1}}{P_{2}}&=&\left( \frac {\displaystyle \frac {\sqrt {H_{1}}}{N_{1}}}{\displaystyle \frac {\sqrt {H_{2}}}{N_{2}}}\right) ^{2} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {N_{2}\sqrt {H_{1}}}{N_{1}\sqrt {H_{2}}}\right) ^{2} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {N_{2}}{N_{1}}\right) ^{2} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {5}{2}} \\[ 5pt ] \left( \frac {P_{1}}{P_{2}}\right) ^{\frac {1}{2}}&=& \frac {N_{2}}{N_{1}} \times \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {5}{4}} \\[ 5pt ] N_{1}&=&N_{2} \times \frac {\displaystyle \left( \frac {H_{1}}{H_{2}}\right) ^{\frac {5}{4}}}{\displaystyle \left( \frac {P_{1}}{P_{2}}\right) ^{\frac {1}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これに，$ \ H_{1}=1 \ \mathrm {[m]} \ $，$ \ P_{1}=1 \ \mathrm {[kW]} \ $，$ \ H_{2}=50 \ \mathrm {[m]} \ $，$ \ P_{2}=10 \ 000 \ \mathrm {[kW]} \ $を代入すれば，
\[
\begin{eqnarray}
N_{1}&=&N_{2} \times \frac {\displaystyle \left( \frac {1}{50}\right) ^{\frac {5}{4}}}{\displaystyle \left( \frac {1}{10 \ 000}\right) ^{\frac {1}{2}}} \\[ 5pt ] &=&N_{2} \times \frac {\displaystyle 10 \ 000 ^{\frac {1}{2}}}{\displaystyle 50 ^{\frac {5}{4}}} \\[ 5pt ] &≒&N_{2} \times \frac {100}{132.96} \\[ 5pt ] N_{1}&≒&N_{2} \times 0.75 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヲ
題意より解答候補は，（ニ）無拘束速度，（ト）同期速度，（ヲ）比速度，になると思います。
ワンポイント解説「1.比速度の定義」の通り，落差$ \ 1 \ \mathrm {m} \ $で出力$ \ 1 \ \mathrm {kW} \ $を発生するときの回転速度を比速度といいます。