《機械》〈回転機〉[R04:問2]誘導電動機の等価回路に関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，誘導電動機の等価回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

三相変圧器や三相誘導電動機の一次換算等価回路を作成する場合，二次側の諸量を一次側に換算する必要がある。変圧器では，一次・二次巻線間の\( \ \fbox {　 （１） 　} \ \)が換算係数として使用されるが，誘導電動機では，\( \ \fbox {　 （１） 　} \ \)に加えて，巻線係数及び相数を考慮する必要がある。

\( \ m_{1} \ \)相の対称交流を電源とする多相誘導電動機の一次及び二次巻線一相の巻数を\( \ w_{1} \ \)及び\( \ w_{2} \ \)，巻線係数を\( \ k_{\mathrm {w1}} \ \)及び\( \ k_{\mathrm {w2}} \ \)，相数を\( \ m_{1} \ \)及び\( \ m_{2} \ \)，一次及び二次\( \ 1 \ \)相の抵抗及び漏れリアクタンスをそれぞれ\( \ r_{1} \ \)，\( \ r_{2} \ \)，\( \ x_{1} \ \)，\( \ x_{2} \ \)とする。なお，二次リアクタンス\( \ x_{2} \ \)は，回転子静止時の値とする。回転子を静止させた状態で一次巻線に三相電源を印加すると励磁電流が流れ回転磁界が生じて，一次誘導起電力\( \ {\dot E}_{1} \ \)，二次誘導起電力\( \ {\dot E}_{2} \ \)が誘導される。この誘導起電力の比は\( \ \displaystyle {\dot E}_{2}=\frac {{\dot E}_{1}}{u_{\mathrm {e}}} \ \)，\( \ \displaystyle u_{\mathrm {e}}=\frac {k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{k_{\mathrm {w2}}w_{2}} \ \)で示される。\( \ {\dot E}_{2} \ \)は二次回路に印加され，二次巻線の電流\( \ {\dot I}_{2} \ \)は\( \ \fbox {　 （２） 　} \ \)となる。この\( \ {\dot I}_{2} \ \)による起磁力を打ち消すために一次側に\( \ I_{1}^{\prime }=u_{\mathrm {i}}I_{2} \ \)が流れる。\( \ u_{\mathrm {i}}=\fbox {　 （３） 　} \ \)であらわされ，この\( \ I_{1}^{\prime } \ \)が二次電流\( \ {\dot I}_{2} \ \)の一次側への換算値となる。\( \ r_{2} \ \)及び\( \ x_{2} \ \)を一次側へ換算するには，換算係数\( \ \fbox {　 （４） 　} \ \)をかければよい。

三相巻線形電動機では，\( \ m_{1}=3 \ \)，\( \ m_{2}=3 \ \)である。三相かご形誘導電動機では，二次側回転子の全導体数を\( \ K \ \)，極対数を\( \ p \ \)とすれば，電気角\( \ 2\pi \ \)当たりの導体数は\( \ \displaystyle \frac {K}{p} \ \)であり，相数\( \ m_{2} \ \)に等しい。よって二次一相分の導体数は\( \ 1 \ \)，巻数は\( \ w_{2}= \ \fbox {　 （５） 　} \ \)，巻線係数は\( \ k_{\mathrm {w2}}=1 \ \)となる。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {1}{2}　　　　　&（ロ）&　\frac {m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}}　　　　　&（ハ）&　\frac {m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}}{m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}}　　　　　&（ホ）&　\frac {k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{k_{\mathrm {w2}}w_{2}}　　　　　&（ヘ）&　\frac {m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {{\dot E}_{2}}{r_{1}+\mathrm {j}x_{1}}　　　　　&（チ）&　\frac {{\dot E}_{2}}{r_{1}+r_{2}+\mathrm {j}\left( x_{1}+x_{2}\right) }　　　　　　　&（リ）&　\frac {m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}}{m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {{\dot E}_{2}}{r_{2}+\mathrm {j}x_{2}}　　　　　&（ル）&　インピーダンス比　　　　　&（ヲ）&　1 \\[ 5pt ] &（ワ）&　短絡比　　　　　&（カ）&　2　　　&（ヨ）&　巻数比 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

誘導機の誘導起電力や一次巻線（固定子巻線）と二次巻線（回転子巻線）の関係を問う問題です。
問題は等価回路となっていますが，実質的には等価回路を描くまでの一次二次換算の方法を問う内容となっています。

1.誘導電動機の一次二次誘導起電力とその関係
誘導電動機の一次側誘導起電力（相電圧）の実効値\( \ E_{1} \ \)は，正弦波の実効値と平均値の関係が\( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}}÷\frac {2}{\pi }≒1.11 \ \)，同期速度が\( \ \displaystyle N_{1}=\frac {120f}{p} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，\( \ 1 \ \)巻線あたりの導体数は\( \ 2 \ \)となるので導体数\( \ Z_{1} \ \)が巻線数\( \ w_{1} \ \)の\( \ 2 \ \)倍となり，巻線定数を\( \ k_{1} \ \)，最大磁束を\( \ \phi _{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb]} \ \)をとすると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&\frac {pZ_{1}}{60a}\phi N_{1}\times k_{1} \\[ 5pt ] &≒&\frac {p\times 2w_{1}}{60a}\left( \phi _{\mathrm {m}}\times 1.11 \right)\times \frac {120f}{p}\times k_{1} \\[ 5pt ] &=&4.44k_{1}f\phi _{\mathrm {m}}w_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。同様に，始動時の二次誘導起電力（相電圧）の実効値\( \ E_{2} \ \)は，巻線数\( \ w_{2} \ \)，巻線定数を\( \ k_{2} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}&≒&4.44k_{2}f\phi _{\mathrm {m}}w_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，滑り\( \ s \ \)で運転中の二次誘導起電力\( \ E_{2}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}^{\prime }&=&sE_{2} \\[ 5pt ] &=&4.44k_{2}\left( sf\right) \phi _{\mathrm {m}}w_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。これらより，\( \ E_{1} \ \)と\( \ E_{2} \ \)の比は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{1}}{E_{2}}&=&\frac {4.44k_{1}f\phi _{\mathrm {m}}w_{1}}{4.44k_{2}f\phi _{\mathrm {m}}w_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {k_{1}w_{1}}{k_{2}w_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。一方電流比は，変圧器と同様に電圧比の逆数となるので，一次巻線の相数\( \ m_{1} \ \)，二次巻線の相数\( \ m_{2} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {k_{2}w_{2}\times m_{2}}{k_{1}w_{1}\times m_{1}}&=&\frac {m_{2}k_{2}w_{2}}{m_{1}k_{1}w_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ヨ
題意より解答候補は，（ル）インピーダンス比，（ワ）短絡比，（ヨ）巻数比，になると思います。
変圧器では等価回路を作成する場合，一次・二次巻線間の巻数比が換算係数として使用されます。

(2)解答：ヌ
題意より解答候補は，（ト）\( \ \displaystyle \frac {{\dot E}_{2}}{r_{1}+\mathrm {j}x_{1}} \ \)，（チ）\( \ \displaystyle \frac {{\dot E}_{2}}{r_{1}+r_{2}+\mathrm {j}\left( x_{1}+x_{2}\right) } \ \)，（ヌ）\( \ \displaystyle \frac {{\dot E}_{2}}{r_{2}+\mathrm {j}x_{2}} \ \)，等になると思います。
誘導電動機の二次側等価回路は図1のようになるため，静止時すなわち\( \ s =1 \ \)における二次巻線の電流\( \ {\dot I}_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{2}&=&\frac {{\dot E}_{2}}{r_{2}+\mathrm {j}x_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

(3)解答：リ
題意より解答候補は，（ロ）\( \ \displaystyle \frac {m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}} \ \)，（ハ）\( \ \displaystyle \frac {m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}}{m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}} \ \)，（ニ）\( \ \displaystyle \frac {\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}} \ \)，（ホ）\( \ \displaystyle \frac {k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{k_{\mathrm {w2}}w_{2}} \ \)，（ヘ）\( \ \displaystyle \frac {m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}} \ \)，（リ）\( \ \displaystyle \frac {m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}}{m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}} \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「1.誘導電動機の一次二次誘導起電力とその関係」の通り，\( \ u_{\mathrm {i}}=\displaystyle \frac {m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}}{m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}} \ \)となります。

(4)解答：ロ
題意より解答候補は，（ロ）\( \ \displaystyle \frac {m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}} \ \)，（ハ）\( \ \displaystyle \frac {m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}}{m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}} \ \)，（ニ）\( \ \displaystyle \frac {\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}} \ \)，（ホ）\( \ \displaystyle \frac {k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{k_{\mathrm {w2}}w_{2}} \ \)，（ヘ）\( \ \displaystyle \frac {m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}} \ \)，（リ）\( \ \displaystyle \frac {m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}}{m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}} \ \)，になると思います。
インピーダンスの換算係数は，電圧と電流の換算係数から，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {u_{\mathrm {e}}}{u_{\mathrm {i}}}&=&\frac {\displaystyle \frac {k_{\mathrm {w1}}w_{1}}{k_{\mathrm {w2}}w_{2}}}{\displaystyle \frac {m_{2}k_{\mathrm {w2}}w_{2}}{m_{1}k_{\mathrm {w1}}w_{1}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {m_{1}\left( k_{\mathrm {w1}}w_{1}\right) ^{2}}{m_{2}\left( k_{\mathrm {w2}}w_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

(5)解答：イ
題意より解答候補は，（イ）\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)，（ヲ）\( \ 1 \ \)，（カ）\( \ 2 \ \)，になると思います。
かご形誘導電動機の場合，回転子の両端が短絡環で短絡しているので，\( \ w_{2}=\displaystyle \frac {1}{2} \ \)として考えます。