《機械・制御》〈変圧器〉[H26:問2] 変圧器の損失及び効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

変圧器の損失及び効率について,次の問に答えよ。

(1) ある変圧器において,電源周波数が定格周波数より\(5 \ %\)上昇し,同時に電源電圧が定格電圧より\(5 \ %\)低下した場合,この変圧器を継続して定格容量で使用するとき,次の値は定格周波数,定格電圧の状態を基準として何\(%\)になるか,それぞれ求めよ。ただし,表皮効果による巻線抵抗の変化は無視できるものとし,定格周波数,定格電圧におけるヒステリシス損は鉄損の\(80 \ %\)で,最大磁束密度の\(2\)乗及び周波数に比例し,また,うず電流損は鉄損の\(20 \ %\)で最大磁束密度の\(2\)乗及び周波数の\(2\)乗に比例するものとする。

a.鉄損\([%]\)

b.銅損\([%]\)

(2) 定格容量\(100 \ \mathrm {kV\cdot A}\),負荷力率\(85 \ %\)で全負荷における効率\(99.0 \ %\)の単相変圧器がある。負荷力率を\(85 \ %\)一定として,この変圧器で\(6\)時間は全負荷,\(8\)時間は\(\displaystyle \frac {1}{2}\)負荷,残りの\(10\)時間は無負荷で運転したとき,\(1\)日における一次側と二次側の電力量計の読みの差が\(16 \ \mathrm {kW\cdot h}\)であった。この変圧器について,全負荷における次の値を求めよ。ただし,鉄損と銅損以外の損失は小さいので無視できるものとする。

a.鉄損\(\mathrm {[kW]}\)

b.銅損\(\mathrm {[kW]}\)

【ワンポイント解説】

内容,計算量共にそれほど難易度の高い問題ではないため,受験生としてはかなり取り組みやすい問題ではなかったかと思います。(1)の鉄損や銅損の計算,変圧器の効率はどちらも非常に重要な公式となりますので是非理解するようにして下さい。

1.変圧器の誘導起電力
電源周波数\(f\),一次側の巻数\(N_{1}\),二次側の巻数\(N_{2}\),磁束の最大値\(\phi _{\mathrm {m}}\)とすると,一次側及び二次側の誘導起電力\(E_{1}\)及び\(E_{2}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&\frac {2\pi f N_{1}\phi _{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &≒&4.44 f N_{1}\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] E_{2}&=&\frac {2\pi f N_{2}\phi _{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &≒&4.44 f N_{2}\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.変圧器の効率
定格運転時の変圧器の効率\(\eta \)は,変圧器の定格容量\(K \ \mathrm {[kV\cdot A]}\),力率\(\cos \theta \),鉄損\(P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[kW]}\),銅損\(P_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[kW]}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {K\cos \theta }{K\cos \theta +P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,利用率\( \ \mathrm {m} \ \left( 0 < \mathrm {m} < 1\right) \ \)での効率\(\eta _{\mathrm {m}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}} &=&\frac {K\cos \theta }{\mathrm {m}K\cos \theta +P_{\mathrm {i}}+\mathrm {m}^{2}P_{\mathrm {c}}}\times 100 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。(鉄損は一定,銅損は利用率の\(2\)乗に比例)

【関連する「電気の神髄」記事】

  変圧器の無負荷損
  変圧器の負荷損

【解答】

(1)問題の変圧器の全負荷における鉄損と銅損
a.鉄損
変圧器の端子電圧を\(V\)とすると,変圧器の端子電圧と誘導起電力はほぼ等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
V&=&4.44fN\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] \phi _{\mathrm {m}}&∝&\frac {V}{f} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また,鉄心の断面積を\(S\),最大磁束密度を\(B_{\mathrm {m}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\phi _{\mathrm {m}}&=&B_{\mathrm {m}}S \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるので,
\[
\begin{eqnarray}
B _{\mathrm {m}}&∝&\frac {V}{f} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成立する。題意よりヒステリシス損\(P_{\mathrm {h}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {h}}&∝&B _{\mathrm {m}}^{2}f \\[ 5pt ] &∝&\left( \frac {V}{f}\right) ^{2}f \\[ 5pt ] &∝&\frac {V^{2}}{f} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成立するので,条件変化前後のヒステリシス損をそれぞれ\(P_{\mathrm {h1}}\)及び\(P_{\mathrm {h2}}\),周波数を\(f_{1}\)及び\(f_{2}\),電圧を\(V_{1}\)及び\(V_{2}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{\mathrm {h2}}}{P_{\mathrm {h1}}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{2}^{2}}{f_{2}}}{\displaystyle \frac {V_{1}^{2}}{f_{1}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{2}^{2}f_{1}}{V_{1}^{2}f_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( 0.95V_{1}\right) ^{2}f_{1}}{V_{1}^{2}\cdot 1.05f_{1}} \\[ 5pt ] &≒&0.85952 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。同様に,題意よりうず電流損\(P_{\mathrm {e}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {e}}&∝&B _{\mathrm {m}}^{2}f^{2} \\[ 5pt ] &∝&\left( \frac {V}{f}\right) ^{2}f^{2} \\[ 5pt ] &∝&V^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるので,条件変化前後のヒステリシス損をそれぞれ\(P_{\mathrm {e1}}\)及び\(P_{\mathrm {e2}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{\mathrm {e2}}}{P_{\mathrm {e1}}}&=&\frac {V_{2}^{2}}{V_{1}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( 0.95V_{1}\right) ^{2}}{V_{1}^{2}} \\[ 5pt ] &=&0.9025 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。条件変化前後の鉄損をそれぞれ\(P_{\mathrm {i1}}\)及び\(P_{\mathrm {i2}}\)とすると,上式と\(P_{\mathrm {h1}}=0.8P_{\mathrm {i1}}\)及び\(P_{\mathrm {e1}}=0.2P_{\mathrm {i1}}\)より,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {i2}}&=&P_{\mathrm {h2}}+P_{\mathrm {e2}} \\[ 5pt ] &=&0.85952P_{\mathrm {h1}}+0.9025P_{\mathrm {e1}} \\[ 5pt ] &=&0.85952\times 0.8P_{\mathrm {i1}}+0.9025\times 0.2P_{\mathrm {i1}} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {i2}}&≒&0.86812P_{\mathrm {i1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので,鉄損は\(86.8 \ [%]\)となる。

b.銅損
銅損は負荷電流の\(2\)乗に比例し,\(\displaystyle I=\frac {P}{V}\)の関係があるため,容量変化がない場合は銅損は電圧の\(2\)乗に反比例することがわかる。したがって,条件変化前後の銅損をそれぞれ\(P_{\mathrm {c1}}\)及び\(P_{\mathrm {c2}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{\mathrm {c2}}}{P_{\mathrm {c1}}}&=&\frac {V_{1}^{2}}{V_{2}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{1}^{2}}{\left( 0.95V_{1}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&1.1080 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので,銅損は\(111 \ [%]\)となる。

(2)(1)の場合の機械出力\(P_{1} \ \mathrm {[kW]}\)及びトルク\(T_{1} \ \mathrm {[N\cdot m]}\)
ワンポイント解説「2.変圧器の効率」より,全負荷時の効率\(\eta _{\mathrm {n}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {n}}&=&\frac {K\cos \theta }{K\cos \theta +P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \\[ 5pt ] 99.0&=&\frac {100\times 0.85 }{100\times 0.85 +P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \\[ 5pt ] P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}&≒&0.85859  ・・・・・・・・・・・・・・・・ ①\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また,題意より部分負荷運転においては,
\[
\begin{eqnarray}
6\left( P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}\right) +8\left( P_{\mathrm {i}}+\frac {1}{4}P_{\mathrm {c}}\right) +10 P_{\mathrm {i}}&=&16 \\[ 5pt ] 3P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}&=&2  ・・・・・ ② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,①,②を解くと,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {i}}&≒&0.57071 → 0.571 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c}}&≒&0.28788  → 0.288 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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