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【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
図1に示す\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の三相\( \ 3 \ \)線式配電線において，配電線に接続された単相変圧器（\( \ 6.6 \ \mathrm {[kV]} \ / \ 110 \ \mathrm {[V]} \ \)）内部で高低圧混触事故が発生し，\( \ 1 \ \)線が\( \ \mathrm {B} \ \)種接地（抵抗\( \ R_{g} \ \)）を通じて地絡を生じた場合について，次の問に答えよ。
ただし，配電線のこう長は\( \ 10 \ \mathrm {[km]} \ \)，配電線\( \ 1 \ \)線当たりの対地静電容量は\( \ 0.01 \ \mathrm {[\mu F / km]} \ \)，接地形計器用変圧器\( \ \left( \mathrm {GPT} \right) \ \)二次側の開放三角結線端子間の抵抗は\( \ 25 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ \mathrm {GPT} \ \)の変成比は\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ / \ 110 \ \mathrm {[V]} \ \)とし，逆相分及びその他の定数は無視するものとする。
(1) \(\mathrm {GPT} \ \)は図2のような等価回路で表すことができる。一次側換算時の等価中性点抵抗値\( \ R_{n} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を求めよ。
(2) 単相変圧器内部で高低圧混触事故が発生した際の高圧系統の等価回路を図示せよ。
(3) この等価回路を用いて，単相変圧器二次側に生じる対地電位\( \ V_{g} \ \mathrm {[V]} \ \)を\( \ 150 \ \mathrm {[V]} \ \)以内に抑えるために必要となる\( \ \mathrm {B} \ \)種接地回路の抵抗値の最大許容値\( \ R_{g} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，及びその際の\( \ R_{g} \ \)に流れる電流\( \ I_{g} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさを求めよ。
ただし，計算に当たっては高低圧混触事故点にかかる電圧（地絡相の事故前の対地電位）は\( \ V_{g} \ \)に比べ十分大きいため，両電圧の位相差は無視しても計算結果には大きな差を与えないものとして計算してよい。
【ワンポイント解説】
単相変圧器で発生した混触事故の影響に関する計算問題です。
接地変圧器の計算や地絡電流の計算は３種でも出題されたことがある内容なので，知識は持っている受験生は多かったと思いますが，(3)の計算に時間と労力を要するので完答は少し厳しい問題であったかなと思います。
1.接地変圧器の一次側換算抵抗値
図3に示すような，一次側を\( \ \mathrm {Y} \ \)結線，二次側をブロークンデルタ結線し，地絡事故を検出できるようにした装置を接地変圧器（接地形計器用変圧器）といいます。
三相平衡時は二次側に現れる電圧が零となるため抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)には電流が流れませんが，事故が発生し三相不平衡になると電流が流れます。
電験で必要となるのは\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の一次側換算値で，二次側は各相が直列に接続されているので各相が均等に分担すると考え，抵抗値は\( \ \displaystyle \frac {r}{3} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)となり，一次二次間の巻数比を\( \ a \ \)とすれば，一次側換算した値は\( \ \displaystyle \frac {a^{2}}{3}r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)となります。
中性点抵抗値は三相分の合成抵抗値となるので，一次側換算抵抗値\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {a^{2}}{9}r \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)一次側換算時の等価中性点抵抗値\( \ R_{n} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
接地形計器用変圧器二次側の開放三角結線端子間の抵抗値が\( \ 25 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)なので，一次側換算時の等価中性点抵抗値\( \ R_{n} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.接地変圧器の一次側換算抵抗値」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R_{n}&=&\frac {\displaystyle \left( \frac {6 \ 600}{110}\right) ^{2}\times 25}{9} \\[ 5pt ]
&=&10 \ 000 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)高低圧混触事故発生時の高圧系統の等価回路
事故発生時の事故電流の流れは図4のようになり，事故点から接地形計器用変圧器及び対地静電容量を介して事故電流が流れる。
事故点にテブナンの定理を適用すると，開放電圧は\( \ \displaystyle E=\frac {6 \ 600}{\sqrt{3}} \ \mathrm {[V]} \ \)，事故点から見たインピーダンスが\( \ R_{n} \ \)と対地静電容量\( \ C \ \)の並列合成インピーダンスであるから，等価回路を描くと図5のようになる。
(3)\( \ V_{g} \ \mathrm {[V]} \ \)を\( \ 150 \ \mathrm {[V]} \ \)以内に抑えるための\( \ \mathrm {B} \ \)種接地回路の抵抗値の最大許容値\( \ R_{g} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と流れる電流\( \ I_{g} \ \mathrm {[A]} \ \)
図5の回路の\( \ R_{n} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と\( \ -\mathrm {j}X_{C} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の合成インピーダンス\( \ \dot Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&\frac {R_{n}\left( -\mathrm {j}X_{C}\right) }{R_{n}-\mathrm {j}X_{C}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{n}}{\mathrm {j}3\omega C}}{\displaystyle R_{n}+\frac {1}{\mathrm {j}3\omega C}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{n}}{\mathrm {j}3\omega C} }{\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}3\omega CR_{n}}{\mathrm {j}3\omega C}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{n} }{1+\mathrm {j}3\omega CR_{n}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，対地電圧\( \ {\dot V}_{g} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{g} &=&\frac {R_{g}}{R_{g}+\dot Z}{\dot E}_{g} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{g}}{\displaystyle R_{g}+\frac {R_{n} }{1+\mathrm {j}3\omega CR_{n}}}{\dot E}_{g} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{g}}{\displaystyle \frac {R_{n}+R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}}{1+\mathrm {j}3\omega CR_{n}}}{\dot E}_{g} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}}{R_{n}+R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}}{\dot E}_{g} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，問題文より\( \ {\dot V}_{g} \ \mathrm {[V]} \ \)と\( \ {\dot E}_{g} \ \mathrm {[V]} \ \)の位相差は無視できるので，上式を\( \ R_{g} \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{g} &=&\frac {R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}}{R_{n}+R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}}E_{g} \\[ 5pt ]
\left( R_{n}+R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}\right) V_{g} &=&\left( R_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}\right) E_{g} \\[ 5pt ]
R_{n}V_{g}+R_{g}V_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}V_{g} &=&R_{g}E_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}E_{g} \\[ 5pt ]
R_{g}E_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}E_{g}-R_{g}V_{g}-\mathrm {j}3\omega CR_{n}R_{g}V_{g} &=&R_{n}V_{g} \\[ 5pt ]
R_{g}\left( E_{g}-V_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}E_{g}-\mathrm {j}3\omega CR_{n}V_{g}\right) &=&R_{n}V_{g} \\[ 5pt ]
R_{g}\left\{ E_{g}-V_{g}+\mathrm {j}3\omega CR_{n}\left( E_{g}-V_{g}\right) \right\} &=&R_{n}V_{g} \\[ 5pt ]
R_{g}\left( E_{g}-V_{g}\right) \left( 1+\mathrm {j}3\omega CR_{n} \right) &=&R_{n}V_{g} \\[ 5pt ]
R_{g}&=&\frac {R_{n}V_{g}}{\left( E_{g}-V_{g}\right) \left( 1+\mathrm {j}3\omega CR_{n} \right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，各値を代入して\( \ R_{g} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさを求めると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{g}&=&\frac {R_{n}V_{g}}{\left( E_{g}-V_{g}\right) \sqrt { 1+\left( 3\omega CR_{n}\right) ^{2} } } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{n}V_{g}}{\left( E_{g}-V_{g}\right) \sqrt { 1+\left( 3\cdot 2\pi f CR_{n}\right) ^{2} } } \\[ 5pt ]
&=&\frac {10 \ 000\times 150}{\displaystyle \left( \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}}-150\right) \times \sqrt { 1+\left( 3\times 2\pi \times 50\times 0.01\times 10^{-6}\times 10\times 10 \ 000\right) ^{2} } } \\[ 5pt ]
&≒&\frac {10 \ 000\times 150}{\displaystyle 3 \ 660.5 \times\sqrt {1+0.888 \ 26} } \\[ 5pt ]
&≒&298.21 → 298 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。したがって，このとき\( \ R_{g} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流\( \ I_{g} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{g}&=&\frac {V_{g}}{R_{g}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {150}{298.21} \\[ 5pt ]
&≒&0.503 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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