《機械》〈電動機応用〉[H26:問5]リアクトルに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,リアクトルに関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

インダクタンス\( \ L \ \)が\( \ 20 \ \mathrm {mH} \ \)の空隙付き鉄心リアクトルがある。このリアクトルの磁路の断面積\( \ S \ \)は\( \ 100 \ \mathrm {cm} ^{2} \ \)であり,巻線の巻数\(N\)は\(256\)である。\( \ S \ \)は全磁路にわたって一定で,漏れ磁束,鉄心の飽和,残留磁束などは無視できるものとする。また,巻線の抵抗は無視できるものとする。

このリアクトルに実効値\( \ V=400 \ \mathrm {V}\),\(f=50 \ \mathrm {Hz} \ \)の正弦波交流電圧を印加したとき,定常状態における鉄心の最大磁束密度は\( \ B_{\mathrm {m}}=\fbox {  (1)  } \ \mathrm {T} \ \)となる。

このリアクトルに直流電流\( \ I_{\mathrm {d}}=100 \ \mathrm {A} \ \)を通電したとき,鉄心の磁束密度は\( \ B_{\mathrm {d}}=\fbox {  (2)  } \ \mathrm {T} \ \)となる。

図の最上段に示すような,ピークピーク値\( \ V_{\mathrm {pp}} \ \)が\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)で周波数が\( \ 300 \ \mathrm {Hz} \ \)ののこぎり波電圧\( \ v_{\mathrm {r}} \ \)をこのリアクトルに加えた。このときの電流\( \ i_{\mathrm {r}} \ \)の波形に最も近い波形は\(\fbox {  (3)  }\)であり,\( \ i_{\mathrm {r}} \ \)のピークピーク値\( \ I_{\mathrm {pp}} \ \)は\(\fbox {  (4)  } \ \mathrm {A} \ \)である。

のこぎり波電圧の\( \ 300 \ \mathrm {Hz} \ \)成分の実効値は,\( \ 45.0 \ \mathrm {V} \ \)であった。このときの電流の\( \ 300 \ \mathrm {Hz} \ \)成分の実効値は\(\fbox {  (5)  } \ \mathrm {A} \ \)である。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& 3.38   &(ロ)& 0.703   &(ハ)& 4.16 \\[ 5pt ] &(ニ)& 5.89   &(ホ)& 2.00   &(ヘ)& 0.497 \\[ 5pt ] &(ト)& 図 \mathrm {b}   &(チ)& 7.16   &(リ)& 200 \\[ 5pt ] &(ヌ)& 図 \mathrm {a}   &(ル)& 8.33   &(ヲ)& 0.00703 \\[ 5pt ] &(ワ)& 図 \mathrm {c}   &(カ)& 0.781   &(ヨ)& 1.19
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

機械科目というより,理論科目の電磁気に近いような問題です。配点が高く計算問題で解答が絞れないので,非常に点数差の開く問題となります。計算間違い等ない様確実に理解するようにして下さい。

1.ファラデーの電磁誘導の法則
巻数\(N\)のコイルを貫通する磁束\(\phi \)があるとき,コイルに発生する誘導起電力\(e\)は,
\[
\begin{eqnarray}
e&=& -N\frac {d\phi }{dt} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.磁束\(\phi \)と磁束密度\(B\)の関係
コイルの断面積が\(S\)である時,磁束\(\phi \)と磁束密度\(B\)には,
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=& BS \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

3.磁束\(\phi \)とコイルに流れる電流\(I\)の関係
巻数\(N\),自己インダクタンス\(L\)のコイルの磁束\(\phi \)とコイルに流れる電流\(I\)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
N\phi &=& LI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(1)解答:ロ
ワンポイント解説「1.ファラデーの電磁誘導の法則」より,電源電圧\(V\)と巻線を貫く磁束\(\phi \)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
V&=& -N\frac {d\phi }{dt} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係がある。ここで,\(V\)は実効値が\(400 \ \mathrm {V}\)の正弦波交流であるから,
\[
\begin{eqnarray}
V&=& 400\sqrt {2}\sin 2\pi f t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表すことができるため,これを代入し,変数分離により\(\phi \)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
400\sqrt {2}\sin 2\pi f t &=& -N\frac {d\phi }{dt} \\[ 5pt ] d\phi &=& -\frac {400\sqrt {2}}{N}\sin 2\pi f t \ dt \\[ 5pt ] \phi &=& -\frac {400\sqrt {2}}{N}\int \sin 2\pi f t \ dt \\[ 5pt ] &=& \frac {400\sqrt {2}}{2\pi f N}\cos 2\pi f t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.磁束\(\phi \)と磁束密度\(B\)の関係」より磁束密度\(B\)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
B &=& \frac {\phi }{S} \\[ 5pt ] &=& \frac {400\sqrt {2}}{2\pi f NS}\cos 2\pi f t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,最大磁束密度\(B_{\mathrm {m}}\)は\(\cos 2\pi f t =1\)の時,
\[
\begin{eqnarray}
B_{\mathrm {m}} &=& \frac {400\sqrt {2}}{2\pi f NS}\\[ 5pt ] &=& \frac {400\sqrt {2}}{2\pi \times 50\times 256\times 0.01} \\[ 5pt ] &≒& 0.703 \ \mathrm {[T]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:カ
ワンポイント解説「3.磁束\(\phi \)とコイルに流れる電流\(I\)の関係」より,
\[
\begin{eqnarray}
N\phi &=& LI_{\mathrm {d}} \\[ 5pt ] NB_{\mathrm {d}}S &=& LI_{\mathrm {d}} \\[ 5pt ] B_{\mathrm {d}} &=& \frac {LI_{\mathrm {d}}}{NS} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
B_{\mathrm {d}} &=& \frac {LI_{\mathrm {d}}}{NS} \\[ 5pt ] &=& \frac {20\times 10^{-3}\times 100}{256\times 0.01} \\[ 5pt ] &≒& 0.781 \ \mathrm {[T]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ワ
ワンポイント解説「1.ファラデーの電磁誘導の法則」「3.磁束\(\phi \)とコイルに流れる電流\(I\)の関係」より
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {r}}&=& -N\frac {d\phi }{dt} \\[ 5pt ] &=& -L\frac {di_{\mathrm {r}} }{dt} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係がある。ここで,上式の正負の符号は電流の向きを表すものであるから,大きさの波形として最も適当なのは,\(v_{\mathrm {r}}\)が零の時,傾きが零となる図(c)となる。

(4)解答:ハ
\(v_{\mathrm {r}}\)は周期が\(\displaystyle \frac {1}{300} \ \mathrm {[s]}\)ののこぎり波であるので,\(\displaystyle 0≦t≦\frac {1}{300}\)において,\(t=0\)の時\(v_{\mathrm {r}}=100\),\(\displaystyle t=\frac {1}{300}\)の時\(v_{\mathrm {r}}=-100\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {r}}&=& -60000 t +100\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,(3)より変数分離により,電流を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {r}}&=&-L\frac {di_{\mathrm {r}} }{dt} \\[ 5pt ] di_{\mathrm {r}} &=&-\frac {1}{L}v_{\mathrm {r}} dt \\[ 5pt ] &=&-\frac {1}{L}\left( -60000 t +100\right) dt \\[ 5pt ] i_{\mathrm {r}}&=&-\frac {1}{L}\int \left( -60000 t +100\right) dt \\[ 5pt ] &=&-\frac {1}{L}\left( -30000 t^{2} +100 t \right) + C(Cは積分定数)\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(t=0\)を基準電流とすれば,
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {r}}\left( t \right) &=&-\frac {1}{L}\left( -30000 t^{2} +100 t \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\(I_{\mathrm {pp}}\)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {pp}}&=&\left| i_{\mathrm {r}}\left( \frac {1}{600} \right) – i_{\mathrm {r}}\left( 0 \right)\right| \\[ 5pt ] &=&\left| -\frac {1}{20\times 10^{-3}}\left[ -30000 \times \left( \frac {1}{600}\right) ^{2} +100\times \left( \frac {1}{600}\right) \right] +0\right| \\[ 5pt ] &≒& 4.1667 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。
(※・・・近似計算の方法の違いにより\(4.16\)が解答となっていると思われます。)

(5)解答:ヨ
電流の実行値\(I\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\left| \frac {V}{j\omega L}\right| \\[ 5pt ] &=&\frac {45}{2\pi \times 50 \times 20\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &≒& 7.16 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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