《機械》〈変圧器〉[H30:問2]変圧器のスコット結線に関する空欄穴埋問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，変圧器のスコット結線に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

変圧器のスコット結線は，単相変圧器$ \ 2 \ $台を用いて三相交流を二相交流に変換する結線で，交流電気車に単相交流電力をき電する場合や，単相電気炉$ \ 2 \ $台を運転する場合などに使用されている。

図1に，単相変圧器$ \ \mathrm {T_{1}} \ $及び$ \ \mathrm {T_{2}} \ $を用いて，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $の一次巻線の一端を$ \ \mathrm {T_{2}} \ $の一次巻線の中点$ \ \mathrm {O} \ $に接続し，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $の残りの一端と$ \ \mathrm {T_{2}} \ $の一次巻線の両端とを三相電源に接続する場合を示す。この場合，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $を$ \ \fbox {　（１）　} \ $変圧器，$ \ \mathrm {T_{2}} \ $を主座変圧器という。

$ \ \mathrm {T_{1}} \ $及び$ \ \mathrm {T_{2}} \ $を無負荷として，一次側($\mathrm {U}$，$\mathrm {V}$，$\mathrm {W}$)に対称三相交流電圧を印加した場合，二次側に生じる電圧の大きさがそれぞれ等しく，かつ，その位相が$ \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {rad} \ $異なるためには，$ \ \mathrm {T_{2}} \ $の巻線の比$ \ a：1 \ $に対し，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $の巻数の比を($ \ \fbox {　（３）　} \ \times a $)$：1 \ $にする必要がある。このように構成されたスコット結線の二次側の各相に，等しい単相負荷を接続すれば，一次側には平衡した三相交流電流が流れる。この場合，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $の容量が$ \ \mathrm {T_{2}} \ $の$ \ \fbox {　（３）　} \ $倍となるので総合利用率は$ \ \fbox {　（４）　} \ $％である。

次に，図1の$ \ \mathrm {T_{2}} \ $と容量及び巻数が等しい$ \ 2 \ $台の単相変圧器$ \ \mathrm {T_{3}} \ $，$ \ \mathrm {T_{4}} \ $をスコット結線として図2に示すように接続する。このとき，$ \ \mathrm {T_{3}} \ $の一次側巻線に巻数の比が($ \ \fbox {　（３）　} \ \times a $)$：1 \ $になる位置にタップを設け，タップを図1と同じように対称三相交流電源の$ \ \mathrm {U} \ $相に接続する。この場合においても二次側の各相に等しい単相負荷を接続すれば，一次側には平衡した三相交流電流が流れる。この場合の総合利用率は$ \ \fbox {　（５）　} \ $％である。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　92.8　　　　　&（ロ）&　\frac {2}{\sqrt {3}}　　　　　&（ハ）&　70.7 \\[ 5pt ] &（ニ）&　66.7　　　　　&（ホ）&　\frac {\pi }{2}　　　　　&（ヘ）&　\frac {2\pi }{3} \\[ 5pt ] &（ト）&　86.6　　　　　&（チ）&　\frac {\sqrt {2}}{3}　　　　　&（リ）&　副座 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　78.7　　　　　&（ル）&　\frac {\sqrt {3}}{2}　　　　　&（ヲ）&　\mathrm {T} \ 座 \\[ 5pt ] &（ワ）&　81.5　　　　　&（カ）&　\frac {\pi }{6}　　　　　&（ヨ）&　\mathrm {Y} \ 座 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

スコット結線からの問題です。あまり重要な結線ではない気もしますが，電験ではちょくちょく出題されます。三相交流の平衡を保ったまま二相交流を引き出せる特徴があります。

1.スコット結線
単相変圧器を問題図1のように接続することで，図3に示すようなベクトル図の電圧を取り出すことができ，巻数比をコントロールすれば，二次側に同じ大きさで位相が90°異なる電圧と電流を取り出すことができます。

【解答】

(1)解答：ヲ
題意より，解答候補は（リ）副座，（ヲ）$\mathrm {T} \ $座，（ヨ）&　$\mathrm {Y} \ $座となると思いますが，スコット結線における$ \ \mathrm {T_{1}} \ $は$\mathrm {T} \ $座変圧器と呼ばれます。

(2)解答：ホ
図3のようにスコット結線では位相が$ \ \displaystyle \frac {\pi }{2} \ $異なる電圧を取り出すことができます。

(3)解答：ル
図3において，$\mathrm {T} \ $座変圧器の一次側の電圧の大きさ$ \ V_{\mathrm {UO}} \ $は図3の三角形が正三角形であるから，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {UO}} &=&\frac {\sqrt {3}}{2}V_{\mathrm {VW}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ \mathrm {T_{1}} \ $の巻数比を$ \ a_{1}：1 \ $と置くと，二次側電圧の大きさは等しくするので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {UO}}}{a_{1}} &=&\frac {V_{\mathrm {VW}}}{a} \\[ 5pt ] a_{1}&=&\frac {V_{\mathrm {UO}}}{V_{\mathrm {VW}}}a \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}V_{\mathrm {VW}}}{V_{\mathrm {VW}}}a \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}}{2}a \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：イ
(3)より，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $は$ \ \mathrm {T_{2}} \ $と比較して電圧の大きさが$\displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2} $倍で，電流の大きさは等しい。容量は電圧×電流で決まるので，$ \ \mathrm {T_{2}} \ $の容量を$ \ P \ $とすると，$ \ \mathrm {T_{1}} \ $の容量は$ \ \displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}P \ $となる。
一方，二次側の出力はどちらも電流電圧を等しくするので，出力できる最大容量は$ \ \mathrm {T_{1}} \ $側の$ \ \displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}P \ $となる。
よって，変圧器の総合利用率は，
\[
\begin{eqnarray}
総合利用率&=&\frac {最大出力}{設備容量}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}P+\frac {\sqrt {3}}{2}P}{\displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}P+P}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}}{\displaystyle \frac {2+\sqrt {3}}{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {2\sqrt {3}}{2+\sqrt {3}}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&92.8 \ \mathrm {％} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ト
最大出力は(4)と変わらず，設備容量が$ \ \mathrm {T_{3}} \ $のみ$ \ \mathrm {T_{4}} \ $と等しくなる。したがって，総合利用率は，
\[
\begin{eqnarray}
総合利用率&=&\frac {最大出力}{設備容量}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}P+\frac {\sqrt {3}}{2}P}{P+P}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}}{2}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&86.6 \ \mathrm {％} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。