【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
タービン発電機の回転軸系を一つの質点にて近似した場合，その運動方程式は次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
J\frac {\mathrm {d}^{2}\theta _{m}}{\mathrm {d}t^{2}} &=&T_{a} \ \mathrm {[N\cdot m]} ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ここで，\( \ \displaystyle J=\frac {GD^{2}}{4} \ \mathrm {[kg \cdot m^{2}]} \ \)は慣性モーメント（ただし，\( GD^{2} \ \mathrm {[kg \cdot m^{2}]} \ \)ははずみ車効果），\( \ \theta _{m} \ \mathrm {[rad]} \ \)は回転子の位置を表す機械角，\( \ T_{a} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は加速トルク，\( \ t \ \mathrm {[s]} \ \)は時間である。
このとき，タービン発電機が回転体としてもつ蓄積エネルギー\( \ E_{K} \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{K} &=&\frac {1}{2}J\left( \frac {\mathrm {d}\theta _{m}}{\mathrm {d}t}\right) ^{2}=\frac {1}{2}J\omega _{m}^{2} \ \mathrm {[J]} ・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
として表される。ここで，\( \ \omega _{m} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は回転子の機械角速度である。
また，①式の運動方程式は，発電機容量ベースの単位法表現では，タービン発電機の単位慣性定数\( \ H \ \mathrm {[s]} \ \)を用いて次のように記述される。
\[
\begin{eqnarray}
2H\frac {\mathrm {d}\overline \omega _{e}}{\mathrm {d}t} &=&\overline T_{a} \ \mathrm {[p.u.]} ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ここで，\( \ \overline \omega _{e} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は回転子の電気角速度，\( \ \overline T_{a} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は加速トルクである。
同一発電所に並列運転された\( \ 2 \ \)台のタービン発電機（\( \ 4 \ \)極機）\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)がある。両機の定格周波数を\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ \mathrm {A} \ \)の発電機容量を\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)，そのはずみ車効果を\( \ 973 \ \mathrm {[t\cdot m^{2}]} \ \)とし，一方\( \ \mathrm {B} \ \)の発電機容量を\( \ 800 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)，そのはずみ車効果を\( \ 830 \ \mathrm {[t\cdot m^{2}]} \ \)とする。このタービン発電機の蓄積（運動）エネルギーに関し，次の問に答えよ。
(注)単位慣性定数\( \ H \ \)は，蓄積エネルギー定数とも呼ばれる。
(1) これら\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)のタービン発電機が定格角速度で運転しているとき，これらのもつ蓄積エネルギー\( \ E_{K} \ \mathrm {[MJ]} \ \)をそれぞれ求めよ。
(2) 単位慣性定数\( \ H \ \mathrm {[s]} \ \)は蓄積エネルギー\( \ E_{K} \ \mathrm {[MJ]} \ \)と発電機容量\( \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)が分かれば，蓄積エネルギーの発電機容量に対する比として計算できる。これら\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)のタービン発電機の単位慣性定数\( \ H \ \mathrm {[s]} \ \)をそれぞれ求めよ。
(3) 並列運転された\( \ 2 \ \)台のタービン発電機\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)が常に同じ角速度をもつと仮定して，容量\( \ 1 \ 800 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)の\( \ 1 \ \)台の等価発電機として機械的運動特性を表現するとき，その\( \ 1 \ 800 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)ベースでの等価慣性定数\( \ H_{eq} \ \mathrm {[s]} \ \)を求めよ。
【ワンポイント解説】
タービン発電機の並列運転時の蓄積エネルギー及び単位慣性定数に関する問題です。
覚えておく公式自体は少ないですが，短い制限時間の中で問題文を読み解かなければならない\( \ 1 \ \)種らしい問題です。合否を分けるような問題と言っても良いぐらいの問題となりますので，よく文章を読んで解けるようになって下さい。
1.同期発電機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
同期発電機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
(1)\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)のタービン発電機が定格角速度で運転しているときの蓄積エネルギー\( \ E_{K} \ \mathrm {[MJ]} \ \)
定格角速度\( \ \omega _{n} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，極数\( \ p=4 \ \)，周波数\( \ f=50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)であるから，ワンポイント解説「1.同期発電機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{n} &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
&≒&157.08 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，②式に代入すれば，\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)のタービン発電機の蓄積エネルギー\( \ E_{KA} \ \mathrm {[MJ]} \ \)及び\( \ E_{KB} \ \mathrm {[MJ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{KA} &=&\frac {1}{2}J_{A}\omega _{m}^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\cdot \frac {GD^{2}}{4} \omega _{m}^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times \frac {973\times 10^{3}}{4} \times 157.08^{2} \\[ 5pt ]
&≒&3.001 \ 0\times 10^{9} \ \mathrm {[J]} → 3 \ 000 \ \mathrm {[MJ]} \\[ 5pt ]
E_{KB} &=&\frac {1}{2}J_{B}\omega _{m}^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\cdot \frac {GD^{2}}{4} \omega _{m}^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times \frac {830\times 10^{3}}{4} \times 157.08^{2} \\[ 5pt ]
&≒&2.559 \ 9 \times 10^{9} \ \mathrm {[J]} → 2 \ 560 \ \mathrm {[MJ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)のタービン発電機の単位慣性定数\( \ H \ \mathrm {[s]} \ \)
題意より，単位慣性定数は蓄積エネルギーの発電機容量に対する比であり，\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)の発電機容量は，\( \ P_{A}=1 \ 000 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)，\( \ P_{B}=800 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)であるから，それぞれの単位慣性定数\( \ H_{A} \ \mathrm {[s]} \ \)及び\( \ H_{B} \ \mathrm {[s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H_{A} &=&\frac {E_{KA}}{P_{A}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3 \ 001.0}{1 \ 000} \\[ 5pt ]
&≒&3.001 \ 0 → 3.00 \ \mathrm {[s]} \\[ 5pt ]
H_{B} &=&\frac {E_{KB}}{P_{B}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2 \ 559.9}{800} \\[ 5pt ]
&≒&3.199 \ 9 → 3.20 \ \mathrm {[s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ 1 \ 800 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)ベースでの等価慣性定数\( \ H_{eq} \ \mathrm {[s]} \ \)
\( \ 1 \ \)台の等価発電機としたときの蓄積エネルギー\( \ E_{K} \ \mathrm {[MJ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{K} &=&E_{KA}+E_{KB} \\[ 5pt ]
&=&3 \ 001.0+2 \ 559.9 \\[ 5pt ]
&=&5 \ 560.9 \ \mathrm {[MJ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるので，\( \ P_{n}=1 \ 800 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)ベースでの等価慣性定数\( \ H_{eq} \ \mathrm {[s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H_{eq} &=&\frac {E_{K}}{P_{n}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {5 \ 560.9}{1 \ 800} \\[ 5pt ]
&≒&3.089 \ 4 → 3.09 \ \mathrm {[s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん