《機械・制御》〈自動制御〉[H23:問4] フィードバック制御に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図に示すフィードバック制御系について,次の問に答えよ。ただし,\(R\left( s\right) \),\(E\left( s\right) \),\(U\left( s\right) \),\(Y\left( s\right) \)は,それぞれ目標値\(r\left( t\right) \),偏差\(e\left( t\right) \),入力\(u\left( t\right) \),出力\(y\left( t\right) \)をラプラス変換したものであり,\(G\left( s\right) \)は制御対象の伝達関数を表す。

(1) 図の制御対象\(G\left( s\right) \)だけを取り出し,大きさ1のステップ入力を\(G\left( s\right) \)へ加えたときのステップ応答が次式で与えられるとき,この制御対象の伝達関数\(G\left( s\right) \)を求めよ。
\[
\begin{cases}
\displaystyle \frac {1}{2}t-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}e^{-2t} & t≧ 0\\
\displaystyle 0       & t <0 \end{cases} \] (2) 上記(1)で求めた\(G\left( s\right) \)とは異なる伝達関数\(\displaystyle G\left( s\right) =\frac {1}{s^{2}\left( s+6 \right)}\)に置き換えた場合に,図において,目標値\(R\left( s\right) \)から偏差\(E\left( s\right) \)までの伝達関数を求めよ。

(3) 上記(2)の制御対象\(G\left( s\right) \)を含む図のフィードバック制御系の特性根の二つが,\(-1+j\sqrt {3}\)と\(-1-j\sqrt {3}\)となるように,補償器\(A\)のパラメータ\(K_{1}\)と\(K_{2}\)を求めよ。さらに,このときの残りの特性根をも求めよ。
(4) 上記(2)の制御対象\(G\left( s\right) \)を含む図のフィードバック制御系において
 a. ランプ関数の目標値\(r\left( t\right) =t\)に対する定常速度偏差の大きさが\(\displaystyle \frac {1}{6}\)以下
 b. フィードバック制御系が安定
  の条件を同時に満たす\(K_{1}\)と\(K_{2}\)の存在範囲を,横軸\(K_{1}\),縦軸\(K_{2}\)のグラフで図示せよ。


【ワンポイント解説】

自動制御の問題は問題慣れすれば,比較的簡単に解けるようになります。一種では古典制御でもラウスの安定判別式は必須で,よく記憶しておく必要があります。ただし,本問は計算量が多いため,試験で選択するのはあまりおすすめできません。

【解答】

(1)
入力\(u\left( t\right) =1\),出力\(y\left( t\right) =\frac {1}{2}t-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}e^{-2t}\)とし,それぞれラプラス変換すると,
\[
U\left( s\right) = \frac {1}{s}
\] \[
Y\left( s\right) = \frac {1}{2s^{2}} -\frac {1}{4s} + \frac {1}{4\left( s+2\right) }= \frac {1}{s^{2}\left( s+2\right)}
\] ゆえに伝達関数\(G\left( s\right) \)は,
\[
G\left( s\right) =\frac {Y\left( s\right) }{U\left( s\right) }=\frac {1}{s\left( s+2\right)}
\] と求められる。

(2)
図の伝達関数について,以下の連立方程式が成り立つ。
\[
\begin{eqnarray}
E\left( s\right) &=&R\left( s\right) -Y\left( s\right)          &①& \\[ 5pt ] U\left( s\right) &=&\left( K_{1}s+K_{2}\right) E\left( s\right) -2s Y\left( s\right)  &②& \\[ 5pt ] Y\left( s\right) &=&\frac {1}{s^{2}\left( s+2\right) }U\left( s\right)        &③&
\end{eqnarray}
\] ③から,\(U\left( s\right) =s^{2}\left( s+2\right) Y\left( s\right) \)であり,これと①を②に代入すると,
\[
s^{2}\left( s+2\right) Y\left( s\right) =\left( K_{1}s+K_{2}\right) \left( R\left( s\right) -Y\left( s\right) \right) -2s Y\left( s\right)
\] 上式を整理すると,
\[
Y\left( s\right)=\frac {K_{1}s+K_{2}}{s\left( s^{2}+6s+2\right) } E\left( s\right)
\] となり,これを①に代入すると,
\[
E\left( s\right) =R\left( s\right) -\frac {K_{1}s+K_{2}}{s\left( s^{2}+6s+2\right) } E\left( s\right)
\] これを整理すると,
\[
\frac {E\left( s\right) }{R\left( s\right) }=\frac {s\left( s^{2}+6s+2\right) }{s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) s+K_{2}}
\] となり,伝達関数が求められる。

(3)
特性根は伝達関数\(s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) +K_{2}=0\)の根である。残りの特性根を\(\alpha \)とすると,
\[
s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) +K_{2}=\left( s-\alpha \right) \left( s-\left( -1+j\sqrt {3}\right) \right) \left( s-\left( -1-j\sqrt {3}\right) \right)
\] が成立する。右辺を整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) +K_{2}&=&\left( s-\alpha \right) \left( s^{2}+2s+4 \right) \\[ 5pt ] &=&s^{3}+\left( 2-\alpha \right) s^{2}+\left( 4-2\alpha \right) s-4\alpha
\end{eqnarray}
\] となり,それぞれの係数を比較すると,
\[
2-\alpha =6
\] \[
4-2\alpha =K_{1}+2
\] \[
-4\alpha =K_{2}
\] となるから,それぞれの解は下記のように求められる。
\[
\alpha =-4,K_{1}=10,K_{2}=16
\]

(4)
a.

ランプ関数\(r(t)=t\)のラプラス変換は,
\[
\mathcal{L} \left[ r(t)\right] =\mathcal{L} \left[ t\right] =\frac {1}{s^2}
\] となるから,これを(2)解答式に代入して\(E\left( s\right) \)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
E\left( s\right) &=&x\frac {s\left( s^{2}+6s+2\right) }{s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) +K_{2}} \cdot \frac {1}{s^2} \\[ 5pt ] &=&\frac {s^{2}+6s+2}{s\left( s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) +K_{2}\right) }
\end{eqnarray}
\] となる。ここで最終値の定理より,\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} e(t) = \displaystyle \lim_{s \to 0} sE(s) \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\lim_{t \to \infty} e(t) &=&\lim_{s \to 0} sE(s) \\[ 5pt ] &=&\lim_{s \to 0}\left[ \frac {s^{2}+6s+2}{s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) +K_{2}}\right] \\[ 5pt ] &=&\frac {2}{K_{2}}
\end{eqnarray}
\] となり,定常速度偏差の大きさが\(\displaystyle \frac {1}{6}\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {2}{K_{2}}&≦&\frac {1}{6} \\[ 5pt ] K_{2}&≧&12
\end{eqnarray}
\] となる。

b.
このフィードバック制御系の特性方程式は\(s^{3}+6s^{2}+\left( K_{1}+2\right) s+K_{2}=0\)であり,ラウスの安定判別法による安定条件は,
\[
1. s^{3},s^{2},s^{1},s^{0}の係数がすべて存在
\] \[
2. s^{3},s^{2},s^{1},s^{0}の係数がすべて同符号
\] \[
3. ラウスの数表の値がすべて正であること
\] である。\(1,2\)より,
\[
K_{1}+2 > 0    ④
\] \[
K_{2} > 0      ⑤
\] となる。一方,\(3\)のラウスの数表は下表の通りとなる。

1列2列
1行1\(K_{1}+2\)
2行6\(K_{2}\)
3行\(
\frac {6\left( K_{1}+2\right) -K_{2}}{6}
\)
0
4行\(K_{2}\)0
5行0
この3行1列目より安定条件は,
\[
\frac {6\left( K_{1}+2\right) -K_{2}}{6}>0    ⑥
\] が追加される。④,⑤,⑥より,
\[
K_{1} > -2,K_{2} > 0,K_{2}<6K_{1}+12 \] と求められるので,これを満たす範囲をグラフで表すと,下図に示した範囲となる。



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