【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
図は，制御対象の出力をモデルの規範出力に追従させるサーボ系の構造を示す。この制御系について，次の問に答えよ。ただし，\( \ R\left( s \right) \ \)，\( \ U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)，\( \ Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)，\( \ U\left( s \right) \ \)，\( \ Y\left( s \right) \ \)及び\( \ E\left( s \right) \ \)は，規範目標値\( \ r\left( t \right) \ \)，規範入力\( \ u_{\mathrm {R}}\left( t \right) \ \)，規範出力\( \ y_{\mathrm {R}}\left( t \right) \ \)，制御入力\( \ u\left( t \right) \ \)，出力\( \ y\left( t \right) \ \)及び偏差\( \ e\left( t \right) \ \)をそれぞれラプラス変換したものであり，\( \ G_{\mathrm {M}}\left( s \right) \ \)はモデルの伝達関数，\( \ G\left( s \right) \ \)は制御対象の伝達関数，\( \ K_{\mathrm {A}}\left( s \right) \ \)及び\( \ K_{\mathrm {B}}\left( s \right) \ \)はそれぞれの補償器の伝達関数を表す。
(1) \( \ R\left( s \right) \ \)から\( \ Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)までの伝達関数を求めよ。
(2) \( \ R\left( s \right) \ \)から\( \ E\left( s \right) \ \)までの伝達関数を求めよ。
(3) 図において，それぞれの伝達関数が，\( \ G_{\mathrm {M}}\left( s \right) =\displaystyle \frac {1}{J_{\mathrm {M}}s^{2}} \ \)，\( \ G\left( s \right) =\displaystyle \frac {1}{Js^{2}} \ \)，\( \ K_{\mathrm {A}}\left( s \right) =K_{1}+K_{2}s \ \)，\( \ K_{\mathrm {B}}\left( s \right) =\displaystyle K_{3}+K_{4}s+\frac {K_{5}}{s} \ \)で与えられるとき，次の問に答えよ。ただし，\( \ J_{\mathrm {M}}＞0 \ \)，\( \ J＞0 \ \)及び\( \ K_{1}～K_{5} \ \)のすべての定数は正とする。
a. 上記(1)で求めた伝達関数から得られる図の上部のフィードバック系の特性方程式を求め，安定であることを示せ。そのとき，減衰定数\( \ \zeta \ \)及び固有角周波数\( \ \omega _{\mathrm {n}} \ \)を，\( \ K_{1} \ \)，\( \ K_{2} \ \)，\( \ J_{\mathrm {M}} \ \)を用いてそれぞれ表せ。
b. 図のサーボ系全体が安定となるための条件を求めよ。
c. 規範目標値\( \ r\left( t \right) \ \)が時間\( \ t \ \)のべき乗\( \ r\left( t \right) =t^{n} \ \)（\( \ t≧0，n \ \)は正の整数）で与えられるとき，定常偏差が有限な値をとる最大の\( \ n \ \)とそのときの定常偏差を求めよ。ただし，ラプラス変換の公式\( \ \mathcal{L} \left\{ t^{n}\right\} =\displaystyle \frac {n!}{s^{n+1}} \ \)を利用してよい。
【ワンポイント解説】
閉ループ伝達関数を求め，安定判別する典型的な自動制御の問題です。
\( \ 1 \ \)種で古典制御から出題される場合，比較的複雑な問題が出題されやすく，本問も計算量が膨大で，相当なスピードが求められると思います。また，\( \ 1 \ \)種の場合はラウスの安定判別法が必須の知識となります。
1.解の公式による安定判別法
二次の特性方程式\( \ as^{2}+bs+c=0 \ \)の根，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {-b±\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の全ての根の実数部が負の値であるとき，安定となります。
2.ラウスの安定判別法
特性方程式\( \ a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}=0 \ \)が与えられている時，ラウスの安定判別法による安定条件は，
\[
\begin{eqnarray}
&&1. s^{n}，s^{n-1}，\cdots ，s^{1}，s^{0}の係数がすべて存在 \\[ 5pt ]
&&2. s^{n}，s^{n-1}，\cdots ，s^{1}，s^{0}の係数がすべて同符号 \\[ 5pt ]
&&3. ラウスの数表の値がすべて正であること \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
です。ラウスの数表は下図のようになります。
\[
\begin{array}{c|ccc}
& 1列 & 2列 & 3列 \\
\hline
1行 & a_{0} & a_{2} & a_{4} & \cdots \\
2行 & a_{1} & a_{3} & a_{5} & \cdots \\
3行 & b_{1}=\frac {a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}}{a_{1}} & b_{2}=\frac {a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5}}{a_{1}} & \cdots \\
4行 & c_{1}=\frac {b_{1}a_{3}-a_{1}b_{2}}{b_{1}} & c_{2}=\frac {b_{1}a_{5}-a_{1}b_{3}}{b_{1}} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}
\]
3.最終値の定理
\( \ f(t) \ \)のラプラス変換を\( \ F(s) \ \)とすると，\( \ f(t) \ \)の定常値は，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim _{ t \to \infty } f(t)&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } sF(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
(1)\( \ R\left( s \right) \ \)から\( \ Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)までの伝達関数
\( \ R\left( s \right) \ \)から\( \ Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)までの伝達関数を検討する際は，図1のように制御系の上側のみを検討すれば良い。
図1より，\( \ R\left( s \right) \ \)と\( \ U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)，\( \ U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)と\( \ Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)の関係式は，
\[
\begin{eqnarray}
U_{\mathrm {R}}\left( s \right) &=&\left\{ R\left( s \right) -Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \right\} \cdot K_{\mathrm {A}}\left( s \right) & ・・・・・・・・・・・・・・ ①& \\[ 5pt ]
Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) &=&U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \cdot G_{\mathrm {M}}\left( s \right) & ・・・・・・・・・・・・・・ ②& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，①を②に代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) &=&\left\{ R\left( s \right) -Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \right\} \cdot K_{\mathrm {A}}\left( s \right) \cdot G_{\mathrm {M}}\left( s \right) \\[ 5pt ]
Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) &=&K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) R\left( s \right) -K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \\[ 5pt ]
\left\{ 1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) \right\} Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) &=&K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) R\left( s \right) \\[ 5pt ]
\frac {Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) }{R\left( s \right) } &=&\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }{1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) } ・・・・・・・ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ R\left( s \right) \ \)から\( E\left( s \right) \ \)までの伝達関数
(1)にて上側の制御系の伝達関数は求められており，②及び③より，
\[
\begin{eqnarray}
U_{\mathrm {R}}\left( s \right) &=&\frac {Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) }{G_{\mathrm {M}}\left( s \right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }{1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }R\left( s \right) }{G_{\mathrm {M}}\left( s \right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) }{1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }R\left( s \right) & ・・・・・・・・・・・・・・ ④&\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これにより，図2のように下側の制御系のみ検討すれば\( \ R\left( s \right) \ \)から\( E\left( s \right) \ \)までの伝達関数が求められる。
図2より，\( \ E\left( s \right) \ \)及び\( \ U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)と\( \ U\left( s \right) \ \)，\( \ U\left( s \right) \ \)と\( \ Y\left( s \right) \ \)，\( \ Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \ \)及び\( \ Y\left( s \right) \ \)と\( \ E\left( s \right) \ \)の関係式は，
\[
\begin{eqnarray}
U\left( s \right) &=&E\left( s \right) \cdot K_{\mathrm {B}}\left( s \right) +U_{\mathrm {R}}\left( s \right) & ・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑤& \\[ 5pt ]
Y\left( s \right) &=&U\left( s \right) \cdot G\left( s \right) & ・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑥& \\[ 5pt ]
E\left( s \right) &=&-Y\left( s \right) +Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) & ・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑦& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。⑤を⑥に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
Y\left( s \right) &=&\left\{ E\left( s \right) \cdot K_{\mathrm {B}}\left( s \right) +U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \right\} \cdot G\left( s \right) \\[ 5pt ]
&=&K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) E\left( s \right) + G\left( s \right) U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，これを⑦に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
E\left( s \right) &=&-\left\{ K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) E\left( s \right) + G\left( s \right) U_{\mathrm {R}}\left( s \right) \right\} +Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \\[ 5pt ]
\left\{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) \right\} E\left( s \right) &=&-G\left( s \right) U_{\mathrm {R}}\left( s \right) +Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \\[ 5pt ]
E\left( s \right) &=&-\frac {G\left( s \right) }{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) }U_{\mathrm {R}}\left( s \right) +\frac {1}{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) }Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と整理でき，さらに③及び④を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
E\left( s \right) &=&-\frac {G\left( s \right) }{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) }\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) }{1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }R\left( s \right) +\frac {1}{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) }\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }{1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }R\left( s \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) }{\left\{ 1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) \right\} \left\{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) \right\} }\left\{ G_{\mathrm {M}}\left( s \right) -G\left( s \right) \right\} R\left( s \right) \\[ 5pt ]
\frac {E\left( s \right) }{R\left( s \right) }&=&\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) \left\{ G_{\mathrm {M}}\left( s \right) -G\left( s \right) \right\} }{\left\{ 1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) \right\} \left\{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) \right\} } ・・・・・・・ ⑧ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)a.(1)で求めた伝達関数の特性方程式を求め，安定であることを示す。また，減衰定数\( \ \zeta \ \)及び固有角周波数\( \ \omega _{\mathrm {n}} \ \)を表す。
③にそれぞれの伝達関数を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Y_{\mathrm {R}}\left( s \right) }{R\left( s \right) } &=&\frac {K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) }{1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( K_{1}+K_{2}s \right) \displaystyle \frac {1}{J_{\mathrm {M}}s^{2}}}{1+\left( K_{1}+K_{2}s \right) \displaystyle \frac {1}{J_{\mathrm {M}}s^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {K_{2}s+K_{1}}{J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，特性方程式は\( \ J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}=0 \ \)となる。ワンポイント解説「1.解の公式による安定判別法」より，この特性方程式の根を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {-K_{2}±\sqrt {K_{2}^{2}-4K_{1}J_{\mathrm {M}}}}{2J_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。上式において\( \ K_{2}^{2}＜4K_{1}J_{\mathrm {M}} \ \)の時，根の実数部は\( \ \displaystyle -\frac {K_{2}}{2J_{\mathrm {M}}}＜0 \ \)となり，\( \ K_{2}^{2}＞4K_{1}J_{\mathrm {M}} \ \)の時，根の実数部は\( \ \displaystyle \frac {-K_{2}±\sqrt {K_{2}^{2}-4K_{1}J_{\mathrm {M}}}}{2J_{\mathrm {M}}}＜0 \ \)となるので，安定であることがわかる。
二次遅れ系の標準形は，
\[
\begin{eqnarray}
G\left( s \right) &=&\frac {\omega _{\mathrm {n}}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{\mathrm {n}}+\omega _{\mathrm {n}}^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，分母について伝達関数と比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
2\zeta \omega _{\mathrm {n}} &=&\frac {K_{2}}{J_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ]
\omega _{\mathrm {n}}^{2} &=&\frac {K_{1}}{J_{\mathrm {M}}} → \omega _{\mathrm {n}}=\sqrt {\frac {K_{1}}{J_{\mathrm {M}}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
\zeta &=&\frac {K_{2}}{J_{\mathrm {M}}}\cdot \frac {1}{2\omega _{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {K_{2}}{J_{\mathrm {M}}}\cdot \frac {1}{2}\sqrt {\frac {J_{\mathrm {M}}}{K_{1}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {K_{2}}{2\sqrt {K_{1}J_{\mathrm {M}}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)b.図のサーボ系全体が安定となるための条件
(2)解答式の⑧について，制御系の上側の安定性は評価されているので，特性方程式\( \ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) =0 \ \)が安定であれば，サーボ系全体が安定となる。それぞれの伝達関数を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) &=&0 \\[ 5pt ]
1+\left( K_{3}+K_{4}s+\frac {K_{5}}{s} \right) \cdot \frac {1}{Js^{2}} &=&0 \\[ 5pt ]
1+\frac {K_{4}}{Js}+\frac {K_{3}}{Js^{2}}+\frac {K_{5}}{Js^{3}} &=&0 \\[ 5pt ]
Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5} &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ワンポイント解説「2.ラウスの安定判別法」により，ラウス表を作成すると，
\[
\begin{array}{c|cc}
& 1列 & 2列 & 3列 \\
\hline
1行 & J & K_{3} & 0 \\
2行 & K_{4} & K_{5} & 0 \\
3行 & \frac {K_{3}K_{4}-JK_{5}}{K_{4}} & 0 \\
4行 & K_{5} & \\
\end{array}
\]
となり，安定条件は\( \ K_{3}K_{4}-JK_{5}＞0 \ \)と求められる。
(3)c.定常偏差が有限な値をとる最大の\( \ n \ \)とそのときの定常偏差
⑧式に各伝達関数を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E\left( s \right) }{R\left( s \right) }&=&\frac {K_{\mathrm {A}}\left\{ G_{\mathrm {M}}\left( s \right) -G\left( s \right) \right\} }{\left\{ 1+K_{\mathrm {A}}\left( s \right) G_{\mathrm {M}}\left( s \right) \right\} \left\{ 1+K_{\mathrm {B}}\left( s \right) G\left( s \right) \right\} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( K_{1}+K_{2}s \right) \left( \displaystyle \frac {1}{J_{\mathrm {M}}s^{2}} -\displaystyle \frac {1}{Js^{2}} \right) }{\left\{ 1+\left( K_{1}+K_{2}s \right) \displaystyle \frac {1}{J_{\mathrm {M}}s^{2}} \right\} \left\{\displaystyle 1+\left( K_{3}+K_{4}s+\frac {K_{5}}{s} \right) \cdot \frac {1}{Js^{2}} \right\} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( K_{1}+K_{2}s \right) \left( Js^{3}-J_{\mathrm {M}}s^{3}\right) }{\left( J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}\right) \left( Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {K_{2}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{4}+K_{1}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{3}}{\left( J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}\right) \left( Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5}\right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ワンポイント解説「3.最終値の定理」より，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim _{ t \to \infty } e(t)&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } sE(s) \\[ 5pt ]
&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } \left[ s\cdot \frac {K_{2}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{4}+K_{1}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{3}}{\left( J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}\right) \left( Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5}\right) } R\left( s \right) \right] \\[ 5pt ]
&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } \left[ \frac {K_{2}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{5}+K_{1}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{4}}{\left( J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}\right) \left( Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5}\right) } \frac {n!}{s^{n+1}} \right] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，定常偏差が有限な値をとる\( \ n \ \)の最大値は，
\[
\begin{eqnarray}
n+1&=&4 \\[ 5pt ]
n&=&3 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められ，そのときの定常偏差は，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim _{ t \to \infty } e(t)&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } \left[ \frac {K_{2}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{5}+K_{1}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s^{4}}{\left( J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}\right) \left( Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5}\right) } \frac {3!}{s^{4}} \right] \\[ 5pt ]
&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } \left[ \frac {K_{2}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) s+K_{1}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) }{\left( J_{\mathrm {M}}s^{2}+K_{2}s+K_{1}\right) \left( Js^{3}+K_{4}s^{2}+K_{3}s+K_{5}\right) } \times 6 \right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {0+K_{1}\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) }{\left( 0+0+K_{1}\right) \left( 0+0+0+K_{5}\right) }\times 6 \\[ 5pt ]
&=&\frac {6\left( J-J_{\mathrm {M}}\right) }{K_{5}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん