【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，円形コイルの作る磁界に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
真空中において半径\( \ R \ \)で一巻きの円形コイルに電流\( \ I \ \)が流れている。図1のように\( \ x \ \)軸の原点\( \ \mathrm {O} \ \)に円形コイルの中心があり，\( \ x \ \)軸上に正の向きの磁束を生じるように置かれているときの\( \ x \ \)軸上の磁束密度の大きさ\( \ B\left( x\right) \ \)は，ビオ・サバールの法則により次のように求められる。ただし，\( \ \mu _{0} \ \)は真空中の透磁率である。
\[
\begin{eqnarray}
B\left( x\right) &=& \frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left( x^{2}+R^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
次に，この円形コイル二つを図2のように原点\( \ \mathrm {O} \ \)に対称に距離\( \ R \ \)だけ離して置く。このコイルをヘルムホルツコイル\( \ \left( \mathrm {Helmholtz \ coil}\right) \ \)という。ここで，ヘルムホルツコイルの\( \ x \ \)軸上の磁束密度の大きさ\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)について考察する。
\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)を\( \ B\left( x\right) \ \)で表すと，\( \ \fbox { （１） } \ \)である。
ここで，\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)を次のようにマクローリン展開することを考える。ただし，\( \ {B_{\mathrm {H}}}^{\left( n\right) }\left( x\right) \ \)は\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)の\( \ n \ \)階微分を表す。
\[
\begin{eqnarray}
B_{\mathrm {H}}\left( x\right) &=& B_{\mathrm {H}}\left( 0\right) +{B_{\mathrm {H}}}^{\prime }\left( 0\right) x+\frac {{B_{\mathrm {H}}}^{\prime \prime }\left( 0\right) }{2!}x^{2}+\cdots +\frac {{B_{\mathrm {H}}}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}x^{n}+\cdots \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
まず，\( \ x \ \)の\( \ 2 \ \)乗の項を取り出して考えると，\( \ {B_{\mathrm {H}}}^{\prime \prime }\left( 0\right) = \ \fbox { （２） } \ \)である。
\( \ \displaystyle \left( 関数 \ f(x) =\frac {1}{\left( x^{2}+a^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \ について， \ f^{\prime \prime }(x) =\frac {12x^{2}-3a^{2}}{\left( x^{2}+a^{2}\right) ^{\frac {7}{2}}} \ である。 \ \right) \ \)
一方，\( \ B\left( x\right) \ \)は\( \ B\left( -x\right) =B\left( x\right) \ \)が成り立つため，偶関数である。したがって，\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)は\( \ \fbox { （３） } \ \)である。このため，\( \ x \ \)の奇数乗の項は全てゼロとなる。
これまでの考察で，マクローリン展開した項のうち，定数項を除き，\( \ x \ \)の\( \ \fbox { （４） } \ \)の項までがゼロになることが分かった。このことから，ヘルムホルツコイルを用いると原点近傍で\( \ \fbox { （５） } \ \)磁界が得られることが分かる。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& x \ に比例する &（ロ）& 急峻に変化する &（ハ）& ほぼ一定の \\[ 5pt ]
&（ニ）& 1 \ 乗 &（ホ）& 2 \ 乗 &（ヘ）& 3 \ 乗 \\[ 5pt ]
&（ト）& 奇関数 &（チ）& 偶関数 &（リ）& 0 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {144\sqrt {2}}{R^{3}}\mu _{0}I &（ル）& \frac {216}{R^{3}}\mu _{0}I &（ヲ）& B\left( x+R\right) +B\left( x-R\right) \\[ 5pt ]
&（ワ）& \sqrt {2}B\left( x\right) &（カ）& 2B\left( x \right) &（ヨ）& B\left( x+\frac {R}{2}\right) +B\left( x-\frac {R}{2}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
二つの円形コイルが作る磁界の大きさを考える問題です。
(1)で導出できる式のグラフを実際に描くと下図のようになりますが，問題を見ながら右ねじの法則等で磁束密度（磁界の大きさ）の概要をイメージできると特に計算をしなくても(2)以降の解答が類推できるかと思います。
1.偶関数と奇関数
①偶関数
偶関数は図3のように，\( \ y \ \)軸を軸として左右対称となる関数のことをいい，\( \ f\left( -x \right) =f\left( x \right) \ \)の関係があります。
一般に\( \ y=f\left( x \right) \ \)が偶数乗の項のみで構成されるもの（例：\( \ y=x^{4}-2x^{2}+3 \ \)）が偶関数となります。三角関数の\( \ \displaystyle y=\cos x=1-\frac {x^{2}}{2!}+\frac {x^{4}}{4!}-\cdots \ \)等も偶関数の一つです。
②奇関数
奇関数は図4のように，原点\( \ \mathrm {O} \ \)を中心とした点対称となる関数のことをいい，\( \ f\left( -x \right) =-f\left( x \right) \ \)の関係があります。
一般に\( \ y=f\left( x \right) \ \)が奇数乗の項のみで構成されるもの（例：\( \ y=x^{5}-2x^{3}-3x \ \)）が奇関数となります。三角関数の\( \ \displaystyle y=\sin x=x-\frac {x^{3}}{3!}+\frac {x^{5}}{5!}-\cdots \ \)等も奇関数の一つです。
【解答】
(1)解答：ヨ
図2-1に示すように，まず\( \ \displaystyle x=-\frac {R}{2} \ \)に中心がある円形コイルについて考えると，\( \ x \ \)軸上の磁束密度の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
B\left( x+\frac {R}{2}\right) &=& \frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left\{ \left( x+\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。同様に，\( \ \displaystyle x=\frac {R}{2} \ \)に中心がある円形コイルの\( \ x \ \)軸上の磁束密度の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
B\left( x-\frac {R}{2}\right) &=& \frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left\{ \left( x-\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ヘルムホルツコイルの\( \ x \ \)軸上の磁束密度の大きさ\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
B_{\mathrm {H}}\left( x\right) &=&B\left( x+\frac {R}{2}\right) +B\left( x-\frac {R}{2}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：リ
与えられている\( \ 2 \ \)階微分の公式より，
\[
\begin{eqnarray}
{B_{\mathrm {H}}}^{\prime \prime}\left( x\right) &=&\left[ \frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left\{ \left( x+\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}}+\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2\left\{ \left( x-\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}}\right] ^{\prime \prime } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}\left[ \frac {1}{\left\{ \left( x+\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}}+\frac {1}{\left\{ \left( x-\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}}\right] ^{\prime \prime } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}\left[ \frac {12\left( x+\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}-3R^{2}}{\left\{ \left( x+\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {7}{2}}} +\frac {12\left( x-\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}-3R^{2}}{\left\{ \left( x-\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {7}{2}}}\right] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，\( \ {B_{\mathrm {H}}}^{\prime \prime }\left( 0\right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{B_{\mathrm {H}}}^{\prime \prime}\left( 0\right) &=&\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}\left[ \frac {12\left( \displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}-3R^{2}}{\left\{ \left( \displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {7}{2}}} +\frac {12\left( -\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}-3R^{2}}{\left\{ \left( -\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {7}{2}}}\right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}\left[ \frac {3R^{2}-3R^{2}}{\left\{ \left( \displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {7}{2}}} +\frac {3R^{2}-3R^{2}}{\left\{ \left( -\displaystyle \frac {R}{2}\right) ^{2}+R^{2}\right\} ^{\frac {7}{2}}}\right] \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：チ
\( \ B_{\mathrm {H}}\left( x\right) \ \)においても，原点\( \ \mathrm {O} \ \)を基準に左右対称とした関数となるので偶関数となり，\( \ x \ \)の奇数乗の項は全てゼロとなる。
(4)解答：ヘ
(2)及び(3)より，\( \ x \ \)の\( \ 3 \ \)乗の項までがゼロとなることがわかる。
(5)解答：ハ
原点付近で微分した値が零であることから，磁界は原点付近でほぼ一定の磁界となることがわかる。
愛知県出身 愛称たけちゃん