《理論》〈電子理論〉[H22:問7]MOSFETを用いた直流で動作する回路に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，図1に示す$ \ \mathrm {MOSFET} \ $を用いた直流で動作する回路に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる数値を解答群の中から選びなさい。ただし，$ \ \mathrm {MOSFET} \ $のゲート・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {GS}} \ $とドレーン・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {DS}} \ $は図2のとおりに定義され，しきい電圧を$ \ V_{\mathrm {T}} \ $とするとき, ドレーン電流$ \ I_{\mathrm {D}} \ $は
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {D}} &=&K\left( V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2}　　・・・・・・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表されるものとする。ここで，$ \ K \ $は比例定数であり，①式が成り立つためにはゲート・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {GS}} \ $とドレーン・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {DS}} \ $は
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &≧&V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}} ＞ 0　　 \ ・・・・・・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] を満たさなければならない。また，ゲート電流は常に零である。

図1の回路において，$ \ 2 \ $個の$ \ \mathrm {MOSFET} \ $の$ \ K \ $と$ \ V_{\mathrm {T}} \ $がそれぞれ等しく，$ \ V_{\mathrm {B}}=0.50 \ \mathrm {[V]} \ $，$ \ V_{\mathrm {DD}}=3.0 \ \mathrm {[V]} \ $，$ \ V_{\mathrm {T}}=0.30 \ \mathrm {[V]} \ $とする。

まず，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{1} \ $について②式の関係を満足するためには，入力電圧$ \ V_{\mathrm {in}} \ $は$ \ \fbox {　（１）　} \ \mathrm {[V]} \ $以下でなければならない。次に，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{2} \ $が②式の関係を満足するためには，出力電圧$ \ V_{\mathrm {out}} \ $は$ \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {[V]} \ $以上でなければならない。

いま，入力電圧$ \ V_{\mathrm {in}} \ $が$ \ \fbox {　（１）　} \ \mathrm {[V]} \ $以下で，出力電圧$ \ V_{\mathrm {out}} \ $が$ \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {[V]} \ $以上であると仮定する。さらに，出力電流$ \ I_{\mathrm {out}} \ $が$ \ 0 \ \mathrm {[A]} \ $であるとすると，$ \ I_{\mathrm {D1}}=I_{\mathrm {D2}} \ $が成り立つ。この式と①式から$ \ V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}} \ $が$ \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[V]} \ $又は$ \ \fbox {　（４）　} \ \mathrm {[V]} \ $と求められる。ただし，$ \ V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}} \ $が$ \ \fbox {　（４）　} \ \mathrm {[V]} \ $の場合，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{1} \ $について②式の関係が成り立たないので，$ \ V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}} \ $は$ \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[V]} \ $でなければならない。このことから，$ \ V_{\mathrm {in}} \ $が$ \ 1.5 \ \mathrm {[V]} \ $のとき$ \ V_{\mathrm {out}} \ $は$ \ \fbox {　（５）　} \ \mathrm {[V]} \ $であることがわかる。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　0.40　　　　　　　&（ロ）&　3.0　　　　　　　&（ハ）&　0.60 \\[ 5pt ] &（ニ）&　0.10　　　　　&（ホ）&　1.0　　　　　&（ヘ）&　3.3 \\[ 5pt ] &（ト）&　0.80　　　　　&（チ）&　1.3　　　　　&（リ）&　0.30 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　0.90　　　　　&（ル）&　0.50　　　　　&（ヲ）&　2.0 \\[ 5pt ] &（ワ）&　0.70　　　　　&（カ）&　2.7　　　　　&（ヨ）&　0.20 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

$ \ \mathrm {MOSFET} \ $を用いた直流で動作する回路に関する問題です。
特に特殊な公式は使用せず，問題文を読解しながら解く問題です。$ \ 1 \ $種では二次試験においてもその場で考えさせる問題が多いので，ぜひ読解力を磨くようにしましょう。

【解答】

(1)解答：ヘ
図1において，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{1} \ $のドレーン・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {DS}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &=&V_{\mathrm {DD}}-V_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] &=&3.0-V_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，ゲート・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {GS}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {GS}} &=&V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，②式を満たすためには，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &≧&V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}} \\[ 5pt ] 3.0-V_{\mathrm {out}} &≧&V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}-0.30 \\[ 5pt ] 3.0 &≧&V_{\mathrm {in}}-0.30 \\[ 5pt ] V_{\mathrm {in}}&≦&3.3 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である必要がある。

(2)解答：ヨ
(1)と同様に，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{2} \ $のドレーン・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {DS}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &=&V_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，ゲート・ソース間電圧$ \ V_{\mathrm {GS}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {GS}} &=&V_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] &=&0.50 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，②式を満たすためには，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &≧&V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {out}}&≧&0.50-0.30 \\[ 5pt ] V_{\mathrm {out}}&≧&0.20 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である必要がある。

(3)解答：ル
$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{1} \ $に①式を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {D1}} &=&K\left( V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&K\left( V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}-0.30\right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{2} \ $に①式を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {D2}} &=&K\left( V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&K\left( V_{\mathrm {B}}-0.30\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&K\left( 0.50-0.30\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&0.04K \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より$ \ I_{\mathrm {D1}}=I_{\mathrm {D2}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
K\left( V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}-0.30\right) ^{2} &=&0.04K \\[ 5pt ] \left( V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}-0.30\right) ^{2}&=&0.04 \\[ 5pt ] V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}-0.30&=&±0.20 \\[ 5pt ] V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}&=&0.10，0.50 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。このうち$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{1} \ $について②式の関係$ \left( \ V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}-0.30 ＞ 0 \ \right) $を満たすのは$ \ 0.50 \ \mathrm {[V]} \ $である。

(4)解答：ニ
(3)で求めた$ \ V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}} \ $において，$ \ \mathrm {MOSFET \ M}_{1} \ $の②式の関係を満たさないのは$ \ 0.10 \ \mathrm {[V]} \ $である。

(5)解答：ホ
(3)及び(4)より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {out}}&=&0.50 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，$ \ V_{\mathrm {in}} = 1.5 \ \mathrm {[V]} \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
1.5-V_{\mathrm {out}}&=&0.50 \\[ 5pt ] V_{\mathrm {out}}&=&1.0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。