《理論》〈電気回路〉[H23:問3]三相回路における各電流及び電力の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次の文章は,三相回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。

図に示すように,抵抗\( \ R \ \),容量性リアクタンス\( \ X \ \),誘導性リアクタンス\( \ X \ \)からなる不平衡三相負荷と二つの単相電力計\( \ 1 \ \)と\( \ 2 \ \)を接続した回路がある。ただし,単相電力計は理想的とする。

端子\( \ \mathrm {a} \ \),\( \ \mathrm {b} \ \),\( \ \mathrm {c} \ \)に相回転が\( \ \mathrm {abc} \ \)の順で線間電圧\( \ V \ \)の対称三相電圧を印加した。このとき,\( \ \dot V_{\mathrm {ab}} \ \)を基準(\( \ \dot V_{\mathrm {ab}}=V ∠0^{\circ } \ \))とすると線電流\( \ \dot I_{\mathrm {a}} \ \),\( \ \dot I_{\mathrm {b}} \ \),\( \ \dot I_{\mathrm {c}} \ \)はそれぞれ
\[
\begin{eqnarray}
\dot I_{\mathrm {a}}= \ \fbox {  (1)  } \\[ 5pt ] \dot I_{\mathrm {b}}= \ \fbox {  (2)  } \\[ 5pt ] \dot I_{\mathrm {c}}= \ \fbox {  (3)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。
次に,抵抗\( \ R \ \)を変化させ,\( \ R \ \)を\( \ \fbox {  (4)  } \ \)にしたところ,対称三相の線電流\( \ \dot I_{\mathrm {a}} \ \),\( \ \dot I_{\mathrm {b}} \ \),\( \ \dot I_{\mathrm {c}} \ \)が流れた。このとき,電力計\( \ 1 \ \),\( \ 2 \ \)の指示\( \ W_{1} \ \),\( \ W_{2} \ \)は\( \ \fbox {  (5)  } \ \)となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \sqrt {3}X   &(ロ)& \left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -\mathrm {j}\frac {1}{X}\right] V \\[ 5pt ] &(ハ)& \left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right] V   &(ニ)& \frac {1}{\sqrt {3}}X \\[ 5pt ] &(ホ)& \left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) +\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right] V   &(ヘ)& \frac {2}{\sqrt {3}}X \\[ 5pt ] &(ト)& \left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) +\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right] V   &(チ)& -\mathrm {j}\frac {1}{X}V \\[ 5pt ] &(リ)& W_{1}=\frac {\sqrt {3}}{2X}V^{2},W_{2}=\frac {\sqrt {3}}{2X}V^{2}   &(ヌ)& \left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -\mathrm {j}\frac {1}{X}\right] V \\[ 5pt ] &(ル)& W_{1}=\frac {2\sqrt {3}}{X}V^{2},W_{2}=-\frac {\sqrt {3}}{X}V^{2}   &(ヲ)& \left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right] V \\[ 5pt ] &(ワ)& \mathrm {j}\frac {1}{X}V   &(カ)& W_{1}=\frac {\sqrt {3}}{X}V^{2},W_{2}=0 \\[ 5pt ] &(ヨ)& \mathrm {j}\frac {1}{2X}V
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三相回路の電流と電力を求める問題です。
一見難しそうに見えますが,\( \ 1 \ \)種の三相交流の問題としてはかなり易しい問題です。しっかりと解法をマスターして確実に得点できるようにしましょう。

【解答】

(1)解答:ヲ
(2)解答:ハ
(3)解答:ワ
\( \ {\dot V}_{\mathrm {ab}}=V ∠0^{\circ } \ \)とすると,\( \ {\dot V}_{\mathrm {bc}} \ \),\( \ {\dot V}_{\mathrm {ca}} \ \)は図1に示す通り,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {bc}}&=&V ∠240^{\circ}&=&\frac {-1-\mathrm {j}\sqrt {3}}{2}V \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {ca}}&=&V ∠120^{\circ}&=&\frac {-1+\mathrm {j}\sqrt {3}}{2}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と表される。

また,図2の通り\( \ {\dot I}_{\mathrm {ab}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {bc}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {ca}} \ \)を定めると,オームの法則より各電流は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {ab}}&=&\frac{\dot V_{\mathrm {ab}}}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac{V}{R} \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {bc}}&=&\frac{\dot V_{\mathrm {bc}}}{-\mathrm {j}X} \\[ 5pt ] &=&\frac{\displaystyle \frac {-1-\mathrm {j}\sqrt {3}}{2}V}{-\mathrm {j}X} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}-\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {ca}}&=&\frac{\dot V_{\mathrm {ca}}}{\mathrm {j}X} \\[ 5pt ] &=&\frac{\displaystyle \frac {-1+\mathrm {j}\sqrt {3}}{2}V}{\mathrm {j}X} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}+\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これより,各相の電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}}&=&\dot I_{\mathrm {ab}}-\dot I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] &=&\frac{V}{R}-\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}+\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] &=&\left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right] V \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {b}}&=&\dot I_{\mathrm {bc}}-\dot I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}-\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right)V-\frac{V}{R} \\[ 5pt ] &=&\left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right] V \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {c}}&=&\dot I_{\mathrm {ca}}-\dot I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}+\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right)V-\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}-\mathrm {j}\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] &=&\mathrm {j}\frac {1}{X}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ニ
(1)~(3)の結果をベクトル図で表すと図3の通りとなる。
この時\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)が対称三相の線電流を流すためには,各位相が\( \ 120° \ \)ずつずれていなければならない。
よって,\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \)の実部と虚部の絶対値に間に,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}&=&\sqrt {3}\cdot\frac {1}{2X} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成り立つ。これを\( \ R \ \)について整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}&=&\frac {\sqrt {3}}{2X} \\[ 5pt ] \frac {1}{R}&=&\frac {\sqrt {3}}{X} \\[ 5pt ] R&=&\frac {1}{\sqrt {3}}X \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:リ
各電力計の指示は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{1}&=&\left| \dot V_{\mathrm {ac}}\right| \left| \dot I_{\mathrm {a}}\right| \cos \theta _{1} (\theta _{1} \ は \ \dot V_{\mathrm {ac}} \ と \ \dot I_{\mathrm {a}} \ の位相差) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
W_{2}&=&\left| \dot V_{\mathrm {bc}}\right| \left| \dot I_{\mathrm {b}}\right| \cos \theta _{2} (\theta _{2} \ は \ \dot V_{\mathrm {bc}} \ と \ \dot I_{\mathrm {b}} \ の位相差) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ,各値は図4に示す通り,
\[
\begin{eqnarray}
\left| \dot V_{\mathrm {ac}}\right|&=&\left| \dot V_{\mathrm {bc}}\right|&=&V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\left| \dot I_{\mathrm {a}}\right| &=&\left| \dot I_{\mathrm {b}}\right|&=&\frac {1}{X}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\theta _{1}=\theta _{2}&=&30^{\circ} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため,\( \ W_{1} \ \)と\( \ W_{2} \ \)の大きさは等しく,
\[
\begin{eqnarray}
W_{1}=W_{2}&=&V\cdot \frac{1}{X}V\cos30^{\circ} \\[ 5pt ] &=&\frac{V^{2}}{X}\cdot \frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}}{2X}V^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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