《理論》〈電気回路〉[H23:問3] 三相回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,三相回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。

図に示すように,抵抗\(R\),容量性リアクタンス\(X\),誘導性リアクタンス\(X\)からなる不平衡三相負荷と二つの単相電力計1と2を接続した回路がある。ただし,単相電力計は理想的とする。

端子\(\mathrm {a}\),\(\mathrm {b}\),\(\mathrm {c}\)に相回転が\(\mathrm {abc}\)の順で線間電圧\(V\)の対称三相電圧を印加した。このとき,\(\dot V_{\mathrm {ab}}\)を基準(\(\dot V_{\mathrm {ab}}=V ∠0^{\circ }\))とすると線電流\(\dot I_{\mathrm {a}}\),\(\dot I_{\mathrm {b}}\),\(\dot I_{\mathrm {c}}\)はそれぞれ
\[
\begin{eqnarray}
\dot I_{\mathrm {a}}=\fbox {  (1)  } \\[ 5pt ] \dot I_{\mathrm {b}}=\fbox {  (2)  } \\[ 5pt ] \dot I_{\mathrm {c}}=\fbox {  (3)  }
\end{eqnarray}
\] となる。
次に,抵抗\(R\)を変化させ,\(R\)を\(\fbox {  (4)  }\)にしたところ,対称三相の線電流\(\dot I_{\mathrm {a}}\),\(\dot I_{\mathrm {b}}\),\(\dot I_{\mathrm {c}}\)が流れた。このとき,電力計1,2の指示\(W_{1}\),\(W_{2}\)は\(\fbox {  (5)  }\)となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \sqrt {3}X   &(ロ)& \left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -j\frac {1}{X}\right] V \\[ 5pt ] &(ハ)& \left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -j\frac {1}{2X}\right] V   &(ニ)& \frac {1}{\sqrt {3}}X \\[ 5pt ] &(ホ)& \left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) +j\frac {1}{2X}\right] V   &(ヘ)& \frac {2}{\sqrt {3}}X \\[ 5pt ] &(ト)& \left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) +j\frac {1}{2X}\right] V   &(チ)& -j\frac {1}{X}V \\[ 5pt ] &(リ)& W_{1}=\frac {\sqrt {3}}{2X}V^{2},W_{2}=\frac {\sqrt {3}}{2X}V^{2}   &(ヌ)& \left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -j\frac {1}{X}\right] V \\[ 5pt ] &(ル)& W_{1}=\frac {2\sqrt {3}}{X}V^{2},W_{2}=-\frac {\sqrt {3}}{X}V^{2}   &(ヲ)& \left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -j\frac {1}{2X}\right] V \\[ 5pt ] &(ワ)& j\frac {1}{X}V   &(カ)& W_{1}=\frac {\sqrt {3}}{X}V^{2},W_{2}=0 \\[ 5pt ] &(ヨ)& j\frac {1}{2X}V
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三相回路の電流と電力を求める問題です。一見難しそうに見えますが,比較的パターン化された類題も多い問題です。過去問でしっかりと解法をマスターして確実に点を取りたい問題です。

【解答】

(1)解答:ヲ
(2)解答:ハ
(3)解答:ワ

\({\dot V}_{\mathrm {ab}}=V ∠0^{\circ }\)とすると,\({\dot V}_{\mathrm {bc}},{\dot V}_{\mathrm {ca}}\)は図1に示す通り,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {bc}}&=&V ∠240^{\circ}&=&a^{2}V&=&\frac {-1-j\sqrt {3}}{2}V \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {ca}}&=&V ∠120^{\circ}&=&aV&=&\frac {-1+j\sqrt {3}}{2}V
\end{eqnarray}
\] と表される。ただし,\(a\)はベクトルオペレータ\(a=\frac {-1+j\sqrt {3}}{2}\)である。

また,図2の通り\({\dot I}_{\mathrm {ab}}\),\({\dot I}_{\mathrm {bc}}\),\({\dot I}_{\mathrm {ca}}\)を定めると,各電流は下記の通り求められる。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {ab}}&=&\frac{\dot V_{\mathrm {ab}}}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac{V}{R} \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {bc}}&=&\frac{\dot V_{\mathrm {bc}}}{-jX} \\[ 5pt ] &=&\frac{\frac {-1-j\sqrt {3}}{2}V}{-jX} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}-j\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {ca}}&=&\frac{\dot V_{\mathrm {ca}}}{jX} \\[ 5pt ] &=&\frac{\frac {-1+j\sqrt {3}}{2}V}{jX} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}+j\frac {1}{2X}\right)V
\end{eqnarray}
\]

これより,各相の電流\({\dot I}_{\mathrm {a}}\),\({\dot I}_{\mathrm {b}}\),\({\dot I}_{\mathrm {c}}\)は以下の通り求められる。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}}&=&\dot I_{\mathrm {ab}}-\dot I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] &=&\frac{V}{R}-\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}+j\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] &=&\left[ \left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -j\frac {1}{2X}\right] V \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {b}}&=&\dot I_{\mathrm {bc}}-\dot I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}-j\frac {1}{2X}\right)V-\frac{V}{R} \\[ 5pt ] &=&\left[ -\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right) -j\frac {1}{2X}\right] V \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {c}}&=&\dot I_{\mathrm {ca}}-\dot I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}+j\frac {1}{2X}\right)V-\left( \frac {\sqrt {3}}{2X}-j\frac {1}{2X}\right)V \\[ 5pt ] &=&j\frac {1}{X}V
\end{eqnarray}
\]

(4)解答:ニ
(1)~(3)の結果をベクトル図で表すと図3の通りとなる。
この時、\(\dot I_{\mathrm {a}}\),\(\dot I_{\mathrm {b}}\),\(\dot I_{\mathrm {c}}\)が対称三相の線電流を流すためには,各位相が120°ずつずれていなければならない。
よって,\(I_{\mathrm {a}},I_{\mathrm {b}}\)の実部と虚部の絶対値に間に下記関係が成り立つ。
\[
\left( \frac {1}{R}-\frac {\sqrt {3}}{2X}\right)=\sqrt {3}\left(\cdot\frac {1}{2X}\right)
\] 式を整理し\(R\)を求めると,
\[
R=\frac {1}{\sqrt {3}}X
\]

(5)解答:リ
各電力計の指示は,
\[
W_{1}=\left| \dot V_{\mathrm {ac}}\right| \left| \dot I_{\mathrm {a}}\right| \cos \theta _{1} (\theta _{1}は\dot V_{\mathrm {ac}}と\dot I_{\mathrm {a}}の位相差)
\] \[
W_{2}=\left| \dot V_{\mathrm {bc}}\right| \left| \dot I_{\mathrm {b}}\right| \cos \theta _{2} (\theta _{2}は\dot V_{\mathrm {bc}}と\dot I_{\mathrm {b}}の位相差)
\] で求められ,各値は図4に示す通り,
\[
\left| \dot V_{\mathrm {ac}}\right|=\left| \dot V_{\mathrm {bc}}\right|=V
\] \[
\left| \dot I_{\mathrm {a}}\right| =\left| \dot I_{\mathrm {b}}\right|=\frac {1}{X}V
\] \[
\theta _{1}=\theta _{2}=30^{\circ}
\] となるため,\(W_{1}\)と\(W_{2}\)は,
\[
W_{1}=W_{2}=V\cdot \frac{1}{X}V\cos30^{\circ}=\frac {\sqrt {3}}{2X}V^{2}
\] と求められる。



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