《機械》〈変圧器〉[H20:問2]変圧器の無負荷損と負荷損及び効率に関する計算・空欄穴埋問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，配電用変圧器の効率と損失に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切な語句又は式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

配電用変圧器では，負荷は$ \ 1 \ $日中一定の大きさであることはほとんどなく，昼間において大きく，夜間において小さくなるのが一般的である。このため，省エネルギーの観点から変圧器の効率を検討する場合，$ \ 1 \ $日の電力の使用パターンを分析し，$ \ 1 \ $日における全出力電力量$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $と$ \ 1 \ $日における全入力電力量$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $の比で総合効率を考える必要がある。このような$ \ 1 \ $日を通算した総合効率は，$ \ \fbox {　（１）　} \ $と呼ばれる。

$ \ 1 \ $日における全入力電力量$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $は，全出力電力量$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $，負荷損による全電力量$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $及び無負荷損による全電力量$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $の和である。ここで，定格二次電圧を$ \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ $，定格二次電流を$ \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ $，$ \ I_{2} \ $のときの負荷損を$ \ k{I_{2}}^{2} \ $（$ \ k \ $は定数）$ \ \mathrm {[kW]} \ $，無負荷損を$ \ P_{0} \ \mathrm {[kW]} \ $，時間を$ \ t \ \mathrm {[h]} \ $，$ \ 1 \ $日における全負荷に対する負荷の割合の時間的変化を$ \ m \left(t \right) \ $，負荷の力率を一定と仮定して$ \ \cos \phi \ $とすれば，$ \ 1 \ $日における全出力電力量は$ \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $，$ \ 1 \ $日における負荷損による全電力量は$ \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $，$ \ 1 \ $日における無負荷損による全電力量は$ \ \fbox {　（４）　} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $である。

配電用変圧器は，夜間は低負荷で使用されるのが一般的であるので，上記の効率を上げるためには，鉄損を減らすことが重要である。このため，ヒステリシス損の小さい$ \ \fbox {　（５）　} \ $制御形けい素鋼板やアモルファス薄帯が鉄心に用いられている。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　k{I_{2}}^{2}\int _{0}^{24}m\left( t \right) \mathrm {d}t　　　　　&（ロ）&　V_{2}I_{2}\cos \phi \int _{0}^{24}m\left( t \right) ^{2}\mathrm {d}t　　　　　&（ハ）&　実測効率 \\[ 5pt ] &（ニ）&　飽　和　　　　　&（ホ）&　24k{I_{2}}^{2}　　　　　&（ヘ）&　24V_{2}I_{2}\cos \phi \\[ 5pt ] &（ト）&　V_{2}I_{2}\cos \phi \int _{0}^{24}m\left( t \right) \mathrm {d}t　　　　　&（チ）&　拡　散　　　　　&（リ）&　24P_{0} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\int _{0}^{24}m\left( t \right) \mathrm {d}t　　　　　&（ル）&　k{I_{2}}^{2}\int _{0}^{24}m\left( t \right) ^{2} \mathrm {d}t　　　　　&（ヲ）&　\int _{0}^{24}m\left( t \right) ^{2} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &（ワ）&　規約効率　　　　　&（カ）&　磁　区　　　　　&（ヨ）&　全日効率 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

配電用変圧器の効率及び損失の特徴を問う問題です。
積分を使用しているのが$ \ 2 \ $種らしい問題ですが，積分の考え方を理解していれば問題なく解けるかと思います。(5)は技術開発の内容で少し電験で求められる知識より専門性の強い印象なので，参考程度に見ておいて下さい。

1.変圧器の効率$ \ \eta \ $と最大効率$ \ \eta _{\mathrm {m}} \ $
変圧器の損失は鉄損$ \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ $と銅損$ \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ $があり，$ \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ $は負荷によらず一定であり，$ \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ $は負荷（電流）の$ \ 2 \ $乗に比例します。従って，定格出力$ \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ $で利用率$ \ \alpha \ $の時の変圧器の効率$ \ \eta \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に，最大効率$ \ \eta _{\mathrm {m}} \ $を求めます。上式の分母分子を$ \ \alpha \ $で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，$ \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ $と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ $となるとき，$ \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ $であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

2.変圧器の全日効率
一般に変圧器において負荷が一定であることは稀であり，最大効率で一日中運転することは現実的ではありません。したがって，変圧器の効率を検討する際には一日の総合効率として全日効率が使用されることも多いです。
全日効率$ \ \eta \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {一日の出力電力量}{一日の入力電力量} \\[ 5pt ] &=&\frac {一日の出力電力量}{一日の出力電力量+一日の損失電力量} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で計算することができます。

【解答】

(1)解答：ヨ
題意より解答候補は，（ハ）実測効率，（ワ）規約効率，（ヨ）全日効率，になると思います。
ワンポイント解説「2.変圧器の全日効率」の通り，全出力電力量と全入力電力量から$ \ 1 \ $日を通算した総合効率は全日効率と呼ばれます。実測効率は実際に入力と出力を測定して求める効率$ \ \displaystyle \left( \frac {出力}{入力}\right) \ $，規約効率は定められた計算によって求める効率$ \ \displaystyle \left( \frac {出力}{出力＋損失}\right) \ $です。

(2)解答：ト
定格運転時の変圧器の出力$ \ P_{n} \ \mathrm {[kW]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{n} &=&V_{2}I_{2}\cos \phi \times 10^{-3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，時間$ \ t \ $の微小な区間での出力電力量$ \ \mathrm {d}W \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}W &=&m\left( t\right) P_{n}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&m\left( t\right) V_{2}I_{2}\cos \phi \times 10^{-3}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，$ \ 1 \ $日の出力電力量$ \ W \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\int _{0}^{24}m\left( t\right) V_{2}I_{2}\cos \phi \times 10^{-3}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&V_{2}I_{2}\cos \phi \times 10^{-3}\int _{0}^{24}m\left( t \right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

※（ト）が正答ですが，単位が$ \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $と指定されているので，上式の通り厳密には$ \ 10^{-3} \ $が必要となります。

(3)解答：ル
定格運転時の負荷損$ \ P_{cn}=k{I_{2}}^{2} \ \mathrm {[kW]} \ $なので，時間$ \ t \ $における銅損$ \ P_{c} \ \mathrm {[kW]} \ $は，ワンポイント解説「1.変圧器の効率$ \ \eta \ $と最大効率$ \ \eta _{\mathrm {m}} \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{c} &=&m\left( t\right) ^{2}P_{cn} \\[ 5pt ] &=&m\left( t\right) ^{2}k{I_{2}}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，微小な区間での負荷損による電力量$ \ \mathrm {d}W_{c} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}W_{c} &=&P_{c}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&m\left( t\right) ^{2}k{I_{2}}^{2}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，$ \ 1 \ $日の負荷損による電力量$ \ W_{c} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{c} &=&\int _{0}^{24}m\left( t\right) ^{2}k{I_{2}}^{2}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&k{I_{2}}^{2}\int _{0}^{24}m\left( t \right) ^{2} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：リ
題意より，無負荷損は$ \ P_{0} \ \mathrm {[kW]} \ $であり負荷により変化しないので，$ \ 1 \ $日の無負荷損による電力量$ \ W_{i} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{i} &=&24P_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：カ
題意より解答候補は，（ニ）飽和，（チ）拡散，（カ）磁区，になると思います。
配電用変圧器には無負荷損の小さい鉄心材料が求められ，磁区制御形けい素鋼板というものが使用されています。