平成30年理論問1の詳しい計算過程を教えて下さい。

【質問】

平成30度二種理論問1（5）のくわしい計算過程を教えてください。

【回答】

ご質問ありがとうございます。おそらく下記の微分する箇所の計算方法と思いますので，こちらの方をもう少し詳しく説明させて頂きます。
【(4)の解答式】
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {y}}&=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {2b}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【(4)の解答式を微分した結果】
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}E_{\mathrm {y}}}{\mathrm {d}b}&=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\left( a^{2} -2b^{2}\right) }{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

〔計算方法〕

(4)の解答式を通分すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {y}}&=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {b}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，ワンポイント解説「2.割り算の微分の公式」で示している通り，\(\displaystyle y=\frac {u(x)}{v(x)}\)で示される関数の微分は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x}&=&\frac {u^{\prime }v-uv^{\prime }}{v^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}E_{\mathrm {y}}}{\mathrm {d}b}&=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {\left( b\right) ^{\prime }\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}-b\left[ \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}\right] ^{\prime }}{\left[ \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}\right] ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {1\times \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}-b\left[ \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}\right] ^{\prime }}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。ここで，\( \ \displaystyle X=\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}} \ \)として，\( \ \displaystyle A=a^{2} +b^{2} \ \)とおくと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}X}{\mathrm {d}b}&=&\frac {\mathrm {d}X}{\mathrm {d}A}\cdot \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}b} \\[ 5pt ] &=&\frac {3}{2}A^{\frac {1}{2}}\cdot 2b \\[ 5pt ] &=&\frac {3}{2}\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\cdot 2b \\[ 5pt ] &=&3b\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}E_{\mathrm {y}}}{\mathrm {d}b}&=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {1\times \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}-b\left[ \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}\right] ^{\prime }}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {1\times \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}-b\cdot 3b\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}-3b^{2}\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\left[ \left( a^{2} +b^{2}\right) -3b^{2}\right] }{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\left( a^{2} -2b^{2}\right) }{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。