《理論》〈電磁気〉[H30:問1]点電荷が真空中に作り出す電界に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,点電荷が真空中に作り出す電界に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。なお,\(\varepsilon _{0}\)は真空の誘電率である。

図のように\( \ xy \ \)平面上に点\( \ \mathrm {A}\)\( \left( x,y \right) =\left( -a,0 \right) \)に電荷\( \ +Q \ \)の点電荷を置く。この点電荷が\( \ y \ \)軸上の点\( \ \mathrm {B}\)\( \left( x,y \right) =\left( 0,b \right) \)に作り出す電界の\( \ x \ \)成分は\( \ \displaystyle \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \fbox {  (1)  }\),\( \ y \ \)成分は\( \ \displaystyle \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \fbox {  (2)  }\)となる。

さらに,点\( \ \mathrm {C}\)\( \left( x,y \right) =\left( a,0 \right) \)に電荷\( \ -Q \ \)の点電荷を置いた場合には,点\( \ \mathrm {B}\)における合成電界は\( \ x \ \)成分のみをもち,\( \ b= \fbox {  (3)  }\)の場合にその大きさが最大となる。

一方,点\( \ \mathrm {C}\)に電荷\( \ +Q \ \)の点電荷を置いた場合には,点\( \ \mathrm {B}\)における合成電界は\( \ y \ \)成分のみをもち,\( \ \displaystyle \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \fbox {  (4)  }\)となる。この合成電界は,\( \ b= \fbox {  (5)  }\)の場合にその大きさが最大となる。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {a}{a^{2}+b^{2}}   &(ロ)& \frac {a+b}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}   &(ハ)& \frac {b}{a^{2}+b^{2}} \\[ 5pt ] &(ニ)& ±\frac {a}{2}   &(ホ)& ±a   &(ヘ)& ±2a \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {a}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}   &(チ)& \frac {2a}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}    &(リ)& ±\frac {a}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {b}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}}   &(ル)& \frac {2b}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}   &(ヲ)& ±∞ \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {b}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}   &(カ)& \frac {a}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}}   &(ヨ)& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

(1)~(4)までは,比較的出題されやすく,難易度もそれほど高くありません。(5)は微分の計算があるので三種より高度な問題となります。

1.点電荷が作る電界の強さ\(E\)
真空中で\(Q\)が作る電界の大きさ\(E\)は,距離\(r\)の地点で,
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.割り算の微分の公式
\(\displaystyle y=\frac {u(x)}{v(x)}\)で示される関数の微分は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {dy}{dx}&=&\frac {u^{\prime }v-uv^{\prime }}{v^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答:ト
点\( \ \mathrm {A}\)に\( \ +Q \ \)の電荷を置いた時,点\( \ \mathrm {B}\)にできる電界は図1のようになる。
ここで,\( \ \mathrm {AB}\)間の距離\(r\)は,三平方の定理より,
\[
\begin{eqnarray}
r&=&\sqrt {a^{2} +b^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,点\( \ \mathrm {B}\)にできる電界の大きさ\(E_{\mathrm {A}}\)は,ワンポイント解説「1.点電荷が作る電界の強さ\(E\)」より,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {A}}&=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\left( a^{2} +b^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,その\(x\)成分は\(\displaystyle \cos \theta =\frac {a}{\sqrt {a^{2} +b^{2}}}\)より,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {Ax}}&=&E_{\mathrm {A}}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\left( a^{2} +b^{2}\right) }\cdot \frac {a}{\sqrt {a^{2} +b^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {a}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ワ
(1)と同様\(y\)成分は\(\displaystyle \sin \theta =\frac {b}{\sqrt {a^{2} +b^{2}}}\)より,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {Ay}}&=&E_{\mathrm {A}}\sin \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\left( a^{2} +b^{2}\right) }\cdot \frac {b}{\sqrt {a^{2} +b^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {b}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ヨ
点\( \ \mathrm {C}\)\( \ -Q \ \)の電荷を置いた時,点\( \ \mathrm {B}\)にできる電界は図2のようになる。
図2より,\(y\)成分は打ち消され\(0\)になる。また,\(E_{\mathrm {Ax}}=E_{\mathrm {Cx}}\)より,\(x\)成分の合計\(E_{\mathrm {x}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {x}}&=&E_{\mathrm {Ax}}+E_{\mathrm {Cx}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {a}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}+\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {a}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {a}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(E_{\mathrm {x}}\)が最大となるのは,\(b=0\)の時で,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {x}}&=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {a}{\left( a^{2} +0\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}a^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ル
点\( \ \mathrm {C}\)\( \ -Q \ \)の電荷を置いた時,点\( \ \mathrm {B}\)にできる電界は図3のようになる。
図3より,\(x\)成分は打ち消され\(0\)になる。また,\(E_{\mathrm {Ay}}=E_{\mathrm {Cy}}\)より,\(y\)成分の合計\(E_{\mathrm {y}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {y}}&=&E_{\mathrm {Ay}}+E_{\mathrm {Cy}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {b}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}+\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {b}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\times \frac {2b}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:リ
ワンポイント解説「2.割り算の微分の公式」より,(4)の解答式を微分すると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {dE_{\mathrm {y}}}{db}&=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}-b\cdot 2b \cdot \frac {3}{2} \left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}}{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\left[ \left( a^{2} +b^{2}\right) -3b^{2} \right] }{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\left( a^{2} -2b^{2}\right) }{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。(詳細計算方法はこちら)\(E_{\mathrm {y}}\)が最大となる点は\(\displaystyle \frac {dE_{\mathrm {y}}}{db}=0\)となる点であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}}\frac {\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{\frac {1}{2}}\left( a^{2} -2b^{2}\right) }{\left( a^{2} +b^{2}\right) ^{3}} &=&0 \\[ 5pt ] a^{2} -2b^{2}&=& 0 \\[ 5pt ] b&=&±\frac {a}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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