【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，変圧器における誘導起電力と磁束に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
一次及び二次巻線を施した環状鉄心において，一次巻線の巻数を\( \ N_{1} \ \)とする。二次巻線を開放したまま，一次巻線に供給電圧として角周波数\( \ \omega \ \)，実効値\( \ V_{1} \ \)の交流電圧\( \ v_{1}\left( t \right) =\sqrt {2}V_{1} \sin \omega t \ \)を加えると，この巻線に流れる\( \ \fbox { （１） } \ \)電流\( \ i_{0} \ \)は，巻線の抵抗及び鉄損を無視すれば，次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
i_{0}\left( t \right) &=&\frac {\sqrt {2}V_{1}}{Z}\sin \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ここで，\( \ Z \ \)は一次巻線のインピーダンスである。
磁気回路の長さを\( \ l \ \)，断面積を\( \ A \ \)，透磁率を\( \ \mu \ \)（一定）と仮定すれば，この電流\( \ i_{0} \ \)によって鉄心中に生じる交番磁界による\( \ \phi \ \)は\( \ \fbox { （２） } \ \)を磁気抵抗で除すことで求められ，
\[
\begin{eqnarray}
\phi \left( t \right) &=&\frac {N_{1}\mu A}{l}i_{0}\left( t \right) \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ ① \ \)及び\( \ ② \ \)式から，
\[
\begin{eqnarray}
\phi \left( t \right) &=&\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}\sin \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ここで，\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \)は\( \ \phi \left( t \right) \ \)の最大値であり，\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}= \ \fbox { （３） } \ \)である。
その結果，一次巻線に誘導起電力\( \ e_{1} \ \)が発生するが，\( \ e_{1} \ \)は\( \ \phi \ \)の変化を妨げる方向に誘導されたとすると，次の関係式が成り立つ。
\[
\begin{eqnarray}
v_{1} \left( t \right) &=&-e_{1} \left( t \right) =N_{1}\frac {\mathrm {d}\phi \left( t \right) }{\mathrm {d}t} \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ④ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ ③ \ \)及び\( \ ④ \ \)式から，\( \ e_{1}\left( t \right) \ \)は次式となる。
\[
\begin{eqnarray}
e_{1} \left( t \right) &=&\sqrt {2}E_{1} \sin \omega t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，\( \ E_{1} \ \)は\( \ e_{1}\left( t \right) \ \)の実効値であり，周波数を\( \ f \ \)とすると次式となる。
\[
\begin{eqnarray}
E_{1} &=& \ \fbox { （４） } \ fN_{1}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
実際の電力用変圧器においては，鉄心の\( \ \fbox { （５） } \ \)特性とヒステリシス特性が含まれるため，鉄心の磁気特性は非直線性になり，巻線に正弦波電圧を加えたとしても電流\( \ i_{0} \ \)は高調波成分を含んだひずみ波となる。
〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 起磁力 &（ロ）& \frac {\sqrt {2}}{\pi } &（ハ）& \frac {\sqrt {2}N_{1}}{\omega V_{1}} \\[ 5pt ]
&（ニ）& 磁区 &（ホ）& \frac {\sqrt {2}V_{1}}{\omega N_{1}} &（ヘ）& 磁化力 \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {\omega N_{1}}{\sqrt {2}V_{1}} &（チ）& 誘導 &（リ）& 励磁 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 渦電流 &（ル）& 飽和 &（ヲ）& \sqrt {2}\pi \\[ 5pt ]
&（ワ）& 2\pi &（カ）& 負荷 &（ヨ）& 鎖交磁束 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
変圧器の起電力と磁束のメカニズムに関する問題です。
途中の計算では理論の電磁気の知識が必要であり，計算量も多く難易度が高い問題と言えると思います。
1.電磁誘導に関するファラデーの法則
巻線\( \ N \ \)のコイルに磁束\( \ \mathit {\Phi } \ \)が通過している時，発生する誘導起電力\( \ e \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&-N\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi }}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。式についている－の符号は変化する磁束を打ち消す方向に誘導起電力が発生するという意味です。
また，自己インダクタンス\( \ L \ \)，コイルに流れる電流\( \ I \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&-L\frac {\mathrm {d}I}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。これらの式を比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
e=-N\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi }}{\mathrm {d}t}&=&-L\frac {\mathrm {d}I}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
N\mathit {\Phi }&=&LI \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることが分かります。
2.磁気回路のオームの法則
中心長さ\( \ l \ \)の環状鉄心に巻き数\( \ N \ \)のコイルが巻かれ，そこに電流\( \ I \ \)が流れている時，鉄心内の磁界の強さ\( \ H \ \)は，アンペールの周回積分の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ]
H&=&\frac {NI}{l} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，鉄心内の磁束密度\( \ B \ \)は，鉄心内の透磁率\( \ \mu \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ]
&=&\frac {\mu NI}{l} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。鉄心内の磁束\( \ \phi \ \)は，鉄心の断面積\( \ S \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&BS \\[ 5pt ]
&=&\frac {\mu NIS}{l} \\[ 5pt ]
&=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {l}{\mu S}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，起磁力\( \ F=NI \ \)，磁気抵抗\( \ R_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {l}{\mu S} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&\frac {F}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，磁気回路のオームの法則が成立します。
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【解答】
(1)解答：リ
題意より解答候補は，（チ）誘導，（リ）励磁，（カ）負荷，になると思います。
問題文中に「二次巻線を開放したまま，一次巻線に供給電圧として角周波数\( \ \omega \ \)，実効値\( \ V_{1} \ \)の交流電圧\( \ v_{1}\left( t \right) =\sqrt {2}V_{1} \sin \omega t \ \)を加える」となっていることから，巻線に流れる電流は励磁電流であることがわかります。
(2)解答：イ
題意より解答候補は，（イ）起磁力，（ヘ）磁化力，（ヌ）渦電流，（ヨ）鎖交磁束，になると思います。
ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」の通り，鉄心中に生じる交番磁界による\( \ \phi \ \)は起磁力を磁気抵抗で除すことにより求められます。
(3)解答：ホ
\( \ ① \ \)式を\( \ ② \ \)式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi \left( t \right) &=&\frac {N_{1}\mu A}{l}i_{0}\left( t \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {N_{1}\mu A}{l}\frac {\sqrt {2}V_{1}}{Z}\sin \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，ワンポイント解説「1.電磁誘導に関するファラデーの法則」及び「2.磁気回路のオームの法則より，自己インダクタンス\( \ L \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
L&=&\frac {N_{1}\phi }{I} \\[ 5pt ]
&=&\frac {N_{1}}{I}\cdot \frac {N_{1}I}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {{N_{1}}^{2}}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {{N_{1}}^{2}}{\displaystyle \frac {l}{\mu A}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\mu A{N_{1}}^{2}}{l} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，一次巻線のインピーダンス\( \ Z \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\omega L \\[ 5pt ]
&=&\omega \cdot \frac {\mu A{N_{1}}^{2}}{l} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\omega \mu A{N_{1}}^{2}}{l} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\phi \left( t \right) &=&\frac {N_{1}\mu A}{l}\frac {\sqrt {2}V_{1}}{\displaystyle \frac {\omega \mu A{N_{1}}^{2}}{l}}\sin \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {2}V_{1}}{\omega N_{1}}\sin \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヲ
\( \ ④ \ \)式及び\( \ ③ \ \)式より，
\[
\begin{eqnarray}
e_{1} \left( t \right) &=&-N_{1}\frac {\mathrm {d}\phi \left( t \right) }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&=&-N_{1}\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left\{\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}\sin \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) \right\} \\[ 5pt ]
&=&-\omega N_{1}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}\cos \left( \omega t-\frac {\pi }{2}\right) \\[ 5pt ]
&=&-2\pi f N_{1}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}\left( \cos \omega t\cos \frac {\pi }{2}+\sin \omega t\sin \frac {\pi }{2}\right) \\[ 5pt ]
&=&-2\pi f N_{1}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}\sin \omega t \\[ 5pt ]
&=&-\sqrt {2}\cdot \sqrt {2} \pi f N_{1}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}\sin \omega t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，\( \ E_{1} \ \)の大きさは\( \ \sqrt {2}\pi f N_{1}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \)と求められる。
(5)解答：ル
題意より解答候補は，（ニ）磁区，（チ）誘導，（リ）励磁，（ル）飽和，（カ）負荷，になると思います。
実際の電力用変圧器は，鉄心の磁気飽和特性により，鉄心の磁気特性は非直線性になります。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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