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【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，交流回路の電流計算の方法に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。
図に示す回路において，定常電流\( \ i (t) \ \)を重ねの理（重ね合わせの理）を用いて求めたい。ただし，\( \ R=1 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ L=40 \ \mathrm {[mH]} \ \)，\( \ E_{1} = 10 \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ E_{2}=5 \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ \omega _{1}=100 \ \mathrm {[rad/s]} \ \)，\( \ \omega _{2}=150 \ \mathrm {[rad/s]} \ \)とする。
まず，角周波数\( \ \omega _{2} \ \)の電圧源の大きさを零にしたとき，抵抗\( \ R \ \)に流れる定常電流\( \ i_{1} (t) \ \)を求めると，\( \ A_{1} \cos \left( 100t+\varphi _{1} \right) \ \)となる。
次に，角周波数\( \ \omega _{2} \ \)の電圧源を元に戻し，角周波数\( \ \omega _{1} \ \)の電圧源の大きさを零としたとき，抵抗\( \ R \ \)に流れる定常電流\( \ i_{2} (t) \ \)を求めると，\( \ A_{2} \sin \left( 150t+\varphi _{2} \right) \ \)となる。
これより，重ねの理を用いれば\( \ i (t)= \ \fbox { （１） } \ \)となる。ここにおいて\( \ A_{1} \ \)は\( \ \fbox { （２） } \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ \varphi _{1} \ \)は\( \ \fbox { （３） } \ \mathrm {[rad]} \ \)となる。さらに，\( \ A_{2} \ \)は\( \ \fbox { （４） } \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ \varphi _{2} \ \)は\( \ \fbox { （５） } \ \mathrm {[rad]} \ \)となる。ただし，\( \ A_{1} \ \)及び\( \ A_{2} \ \)は正の数とする。
〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 1.72 &（ロ）& A_{1} \cos \left( 100t+\varphi _{1} \right) +A_{2} \sin \left( 150t+\varphi _{2} \right) \\[ 5pt ]
&（ハ）& 1.41 &（ニ）& 1.33 \\[ 5pt ]
&（ホ）& 1.16 &（ヘ）& A_{1} \sin \left( 100t+\varphi _{1} \right) +A_{2} \cos \left( 150t+\varphi _{2} \right) \\[ 5pt ]
&（ト）& 0.82 &（チ）& 0.58 \\[ 5pt ]
&（リ）& -1.33 &（ヌ）& -1.41 \\[ 5pt ]
&（ル）& 3.44 &（ヲ）& -0.165 \\[ 5pt ]
&（ワ）& -0.245 &（カ）& 2.43 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&（ヨ）& A_{1} \cos \left( 100t+\varphi _{1} \right) -A_{2} \sin \left( 150t+\varphi _{2} \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
重ね合わせの理を用いた交流回路の電流計算に関する問題です。
交流回路と数学の知識を駆使して解いていく必要がある問題で，解くためには正弦波交流の概念をしっかりと理解している必要があります。
(3)と(5)が難問で，\( \ \displaystyle \tan \frac {\pi }{3}=\sqrt {3}⇒\tan 1.047≒1.732 \ \)をヒントに消去法で選択していくのが現実的な解法と言えるでしょう。
1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。
2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ]
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。
3.重ね（重ね合わせ）の理
複数の電源で構成された回路は，電源毎に計算した電流を重ね合わせて求めることができます。この時，電圧源は短絡，電流源は開放します。
したがって，本問の回路は図6のように分けて考えることができ，電流\( \ i(t) \ \)は\( \ i_{1}(t) +i_{2}(t) \ \)となります。
【解答】
(1)解答：ロ
定常電流\( \ i (t) \ \)は，ワンポイント解説「3.重ね（重ね合わせ）の理」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
i (t) &=&i_{1} (t)+i_{2} (t) \\[ 5pt ]
&=&A_{1} \cos \left( 100t+\varphi _{1} \right) +A_{2} \sin \left( 150t+\varphi _{2} \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：カ
電源\( \ E_{1} \cos \omega _{1} t \ \)のみの回路を考えると，インピーダンス\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=&\sqrt {R^{2}+\left( \omega _{1}L\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1^{2}+\left( 100\times 40\times 10^{-3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&4.123 \ 1 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ A_{1} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
A_{1} &=&\frac {E_{1}}{Z_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{4.123 \ 1} \\[ 5pt ]
&≒&2.425 \ 4 → 2.43 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：リ
\( \ \varphi _{1} \ \)は，遅れ力率であることに注意すると，ワンポイント解説「2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\tan \varphi _{1} &=&-\frac {\omega _{1}L}{R} \\[ 5pt ]
&=&-\frac {100\times 40\times 10^{-3}}{1} \\[ 5pt ]
&=&-4 \\[ 5pt ]
\varphi _{1} &=&\tan ^{-1}-4 \\[ 5pt ]
&≒&-1.33 \ \mathrm {[rad]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ト
電源\( \ E_{2} \sin \omega _{2} t \ \)のみの回路を考えると，インピーダンス\( \ Z_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{2} &=&\sqrt {R^{2}+\left( \omega _{2}L\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1^{2}+\left( 150\times 40\times 10^{-3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&6.082 \ 8 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ A_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
A_{2} &=&\frac {E_{2}}{Z_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {5}{6.082 \ 8} \\[ 5pt ]
&≒&0.821 \ 99 → 0.82 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ヌ
\( \ \varphi _{2} \ \)は，遅れ力率であることに注意すると，ワンポイント解説「2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\tan \varphi _{2} &=&-\frac {\omega _{2}L}{R} \\[ 5pt ]
&=&-\frac {150\times 40\times 10^{-3}}{1} \\[ 5pt ]
&=&-6 \\[ 5pt ]
\varphi _{2} &=&\tan ^{-1}-6 \\[ 5pt ]
&≒&-1.41 \ \mathrm {[rad]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
※ワンポイント解説で説明した通り，\( \ \displaystyle \tan -\frac {\pi }{3}=-\sqrt {3}⇒\tan -1.047≒-1.732 \ \)を参考に\( \ \tan ^{-1} -6 ＜ \tan ^{-1} -4 ＜ -1.047 \ \)と考え，解答群から消去法で（リ）と（ヌ）を選択するのが現実的な解法となります。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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