《理論》〈電磁気〉[H25:問2]磁気回路における回路計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，磁気回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図は鉄心\( \ 1 \ \)と鉄心\( \ 2 \ \)からなる磁気回路の模式図である。鉄心\( \ 1 \ \)に巻数\( \ N \ \)のコイルが巻かれており，ここに電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れている状況を考える。鉄心\( \ 2 \ \)は鉄心\( \ 1 \ \)と対向する位置に配置されており，その間のギャップ長を\( \ x \ \mathrm {[m]} \ \)とする。鉄心の断面積は場所によらず\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とし，ギャップ部分の磁路の断面積も\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とするとき，鉄心間の吸引力\( \ F \ \)を求めたい。なお，鉄心の透磁率を\( \ \mu _{1} \ \mathrm {[H／m]} \ \)，ギャップ部分の透磁率を\( \ \mu _{0} \ \mathrm {[H／m]} \ \)とし，磁路において磁束は一様に分布し，漏れ磁束，磁気飽和，ヒステリシス，渦電流はないものとする。

鉄心及びギャップ部分の磁束密度を\( \ B \ \mathrm {[T]} \ \)とする。ここで，鉄心部分の磁路長の合計量を\( \ D=D_{1}+D_{2} \ \mathrm {[m]} \ \)とおいて，アンペールの周回積分の法則を用いることにより，磁束密度\( \ B \ \)と電流\( \ I \ \)の関係は，\( \ B=\fbox {　 （１） 　} \ \mathrm {[T]} \ \)と表される。

これを用いることで，コイルの自己インダクタンス\( \ L \ \)は，\( \ L=\fbox {　 （２） 　} \ \mathrm {[H]} \ \)と表される。さらに，この磁気回路に蓄えられている磁気エネルギー\( \ W_{\mathrm {m}} \ \)は\( \ L \ \)を用いると，\( \ W_{\mathrm {m}}=\fbox {　 （３） 　} \ \mathrm {[J]} \ \)と表される。よって，仮想変位の方法により，鉄心間の吸引力\( \ F \ \)を求めると，\( \ F=\fbox {　 （４） 　} \ \mathrm {[N]} \ \)と求めることができる。

通常\( \ \mu _{1} \ \)は\( \ \mu _{0} \ \)に比べて十分に大きいため，吸引力\( \ F \ \)は定性的には\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)すると言える。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {LI^{2}}{2\mu _{0}}　　　&（ロ）&　\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}}　　　&（ハ）&　\frac {LI^{2}}{2\mu _{1}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle 2x\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) }　　　&（ホ）&　\frac {\mu _{0}SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+2x}　　　&（ヘ）&　\frac {\mu _{0}SN^{2}I^{2}}{4} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}}　　&（チ）&　\frac {LI^{2}}{2}　　　　&（リ）&　\frac {SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {NI}{\displaystyle \frac {\mu _{1}}{D}+\frac {\mu _{0}}{2x}}　　　&（ル）&　\frac {2SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}}　　　&（ヲ）&　\frac {\mu _{0}NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+2x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
&（ワ）&　電流 \ I \ に依存せず，ギャップ長 \ x \ の \ 2 \ 乗に反比例 \\[ 5pt ] &（カ）&　電流 \ I \ の \ 2 \ 乗に比例し，ギャップ長 \ x \ に反比例 \\[ 5pt ] &（ヨ）&　電流 \ I \ の \ 2 \ 乗に比例し，ギャップ長 \ x \ の \ 2 \ 乗に反比例 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

磁気回路に関する問題です。磁気回路の場合は電気回路より回路は易しい場合が多いので，慣れてしまえば得点しやすい問題であると言えると思います。(4)の計算がやや面倒なので難しめとしています。

1.磁気回路のオームの法則
中心長さ\( \ l \ \)の環状鉄心に巻き数\( \ N \ \)のコイルが巻かれ，そこに電流\( \ I \ \)が流れている時，鉄心内の磁界の強さ\( \ H \ \)は，アンペールの周回積分の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ] H&=&\frac {NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，鉄心内の磁束密度\( \ B \ \)は，鉄心内の透磁率\( \ \mu \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。鉄心内の磁束\( \ \phi \ \)は，鉄心の断面積\( \ S \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&BS \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NIS}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {l}{\mu S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，起磁力\( \ F=NI \ \)，磁気抵抗\( \ R_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {l}{\mu S} \ \)とすると，磁気回路のオームの法則が成立します。

2.自己インダクタンス\( \ L \ \)
図1のような環状ソレノイド回路において，巻数\( \ N \ \)のコイルに電流\( \ I \ \)を流した時の鉄心の磁束\( \ \phi \ \)と比例定数\( \ L \ \)の関係は，起電力\( \ e \ \)を求める関係より，
\[
\begin{eqnarray}
-N\frac {\Delta \phi }{\Delta t}&=&-L\frac {\Delta I}{\Delta t} \\[ 5pt ] N\phi &=&LI \\[ 5pt ] L &=&\frac {N\phi }{I} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ L \ \)を自己インダクタンスと言います。

【解答】

(1)解答：ロ
問題図の磁気回路において，ワンポイント解説「1.磁気回路のオームの法則」より，起磁力\( \ F^{\prime } \ \)，磁気抵抗\( \ R_{\mathrm {m}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F^{\prime }&=&NI \\[ 5pt ] R_{\mathrm {m}}&=&\frac {D}{\mu _{1}S}+\frac {2x}{\mu _{0}S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，磁気回路のオームの法則より回路の磁束\( \ \phi \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&\frac {F^{\prime }}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}S}+\frac {2x}{\mu _{0}S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\( \ \phi =BS \ \)の関係より，磁束密度\( \ B \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
B &=&\frac {\phi }{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}S}+\frac {2x}{\mu _{0}S}}\cdot \frac {1}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：リ
ワンポイント解説「2.自己インダクタンス\( \ L \ \)」より，
\[
\begin{eqnarray}
L &=&\frac {N\phi }{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {NBS}{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {NS}{I}\cdot \frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：チ
磁気回路に蓄えられるエネルギー\( \ W_{\mathrm {m}} \ \)は\( \ L \ \)を用いると，\( \ W_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {1}{2}LI^{2} \ \)で求められる。

(4)解答：ト
磁気回路に蓄えられるエネルギー\( \ W_{\mathrm {m}} \ \)は，各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {m}}&=&\frac {1}{2}LI^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}}I^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，仮想変位において，鉄心\( \ 1 \ \)と鉄心\( \ 2 \ \)の間の吸引力は，\( \ \displaystyle F=-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {m}}}{\mathrm {d}x} \ \)の関係があるから，\( \ A=\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}} \ \)とおくと，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {m}}}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {m}}}{\mathrm {d}A}\cdot \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}I^{2}}{A^{2}}\cdot \frac {2}{\mu _{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}I^{2}}{\left( \displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}}\cdot \frac {2}{\mu _{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヨ
\( \ \mu _{1} ≫ \mu _{0} \ \)すなわち\( \displaystyle \ \frac {1}{\mu _{1}} ≪ \frac {1}{\mu _{0}} \ \)であるから，(4)の解答式は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≃&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \frac {4x^{2}}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{0}SN^{2}I^{2}}{4x^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，電流\( \ I \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例し，ギャップ長\( \ x \ \)の\( \ 2 \ \)乗に反比例する。