《理論》〈電子理論〉[R07:問7]磁界中における電子加わる力と円運動に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，磁界中の電子の運動に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。なお，電子の電荷を$ \ -e\left( ＜0 \right) \ $，質量を$ \ m \ $とし，質量の変化は無視できるものとする。

図のように，透磁率$ \ \mu _{0} \ $の真空中で，大きさ$ \ H \ $の一様な磁界に直角に速さ$ \ v_{0} \ $で電子が運動している。このとき電子は，進行方向に直角で$ \ \fbox {　（１）　} \ $方向に，大きさ$ \ F= \ \fbox {　（２）　} \ $のローレンツ力を受けて等速円運動を行う。この半径を$ \ r \ $とすると，その加速度の大きさは$ \ \fbox {　（３）　} \ $である。運動の第二法則より，次の運動方程式が成り立つ。
\[
\begin{eqnarray}
F&=&m \ \fbox {　（３）　} \ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 上式より，電子は毎秒$ \ \fbox {　（４）　} \ $回だけ周回運動することが分かる。したがって円運動の$ \ 1 \ $回転に要する時間は電子の速度$ \ v_{0} \ $に$ \ \fbox {　（５）　} \ $。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　紙面表から裏の　　　　　&（ロ）&　\frac {e\mu _{0}H}{2\pi m v_{0}}　　　　　&（ハ）&　e\mu _{0}Hv_{0} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {v_{0}}{r^{2}}　　　　　&（ホ）&　依存しない　　　　　&（ヘ）&　rv_{0} \\[ 5pt ] &（ト）&　紙面裏から表の　　　　　&（チ）&　e\mu _{0}H{v_{0}}^{2}　　　　　&（リ）&　比例する \\[ 5pt ] &（ヌ）&　反比例する　　　　　&（ル）&　\frac {{v_{0}}^{2}}{r}　　　　&（ヲ）&　H \ の向きと同じ \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {e\mu _{0}Hv_{0}}{2\pi m }　　　　　&（カ）&　\frac {e\mu _{0}H}{v_{0}}　　　　&（ヨ）&　\frac {e\mu _{0}H}{2\pi m } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

磁界中における電子の円運動に関する問題です。
電子の円運動はほぼパターン化されている問題なので，一度マスターするとあらゆる出題パターンで対応できます。$ \ 3 \ $種でも定番として出題されている問題なので，確実に高得点を目指したい問題です。

1.フレミングの左手の法則
中指を電流の向き，人差し指を磁界の向きに合わせると，親指の方向に力が働くという法則で，頭文字を取って「電磁力」と覚えます。
磁束密度の大きさ$ \ B \ \mathrm {[T]} \ $，電子の速度$ \ v \ \mathrm {[m/s]} \ $，電子の電荷を$ \ -e \ \mathrm {[C]} \ $とすると，電子にかかるローレンツ力$ \ F \ \mathrm {[N]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&evB \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。電子の場合，動く向きが電流の向きと逆になるので，中指の向きに注意するようにしましょう。

2.円運動の向心力
図2のように，質量$ \ m \ \mathrm {[kg]} \ $の物体が速度$ \ v \ \mathrm {[m / s]} \ $で半径$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $の円運動をしているとき，物体に加わっている力は円の中心に向かう力（向心力）であり，その大きさ$ \ F \ \mathrm {[N]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {mv^{2}}{r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。電験では電子の円運動の問題で，ローレンツ力が向心力と等しいという条件を使用します。

【解答】

(1)解答：イ
ワンポイント解説「1.フレミングの左手の法則」の通り，左手を開いて中指（電流）を左方向，人差し指（磁界）を上方向にすると，親指（ローレンツ力）は紙面表から裏の方向を向く。

(2)解答：ハ
透磁率$ \ \mu _{0} \ $，磁界の大きさ$ \ H \ $のとき，磁束密度$ \ B \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
B &=&\mu _{0}H \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電荷$ \ -e \ $，速さ$ \ v_{0} \ $の電子のローレンツ力の大きさ$ \ F \ $は，ワンポイント解説「1.フレミングの左手の法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&ev_{0}B \\[ 5pt ] &=&ev_{0}\mu _{0}H \\[ 5pt ] &=&e\mu _{0}Hv_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ル
質量$ \ m \ $，速さ$ \ v_{0} \ $，円運動の半径$ \ r \ $とすると，円運動の向心力$ \ F \ $は，ワンポイント解説「2.円運動の向心力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&m \frac {{v_{0}}^{2}}{r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヨ
(2)及び(3)解答式より，ローレンツ力と円運動の向心力が等しいことから，
\[
\begin{eqnarray}
e\mu _{0}Hv_{0}&=&m \frac {{v_{0}}^{2}}{r} \\[ 5pt ] e\mu _{0}H&=&m \frac {v_{0}}{r} \\[ 5pt ] r&=&\frac {mv_{0}}{e\mu _{0}H} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，円運動の周期$ \ T \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {2\pi r}{v_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi \displaystyle \frac {mv_{0}}{e\mu _{0}H}}{v_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi m}{e\mu _{0}H} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，毎秒の周回回数（周波数）$ \ f \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
f&=&\frac {1}{T} \\[ 5pt ] &=&\frac {e\mu _{0}H}{2\pi m} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ホ
(4)解答式より，周期$ \ T \ $は，電子の速度$ \ v_{0} \ $に依存しないことがわかる。