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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は， 回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式又は図を解答群の中から選びなさい。
図のように，抵抗\( \ R_{1} \ \)，\( \ R_{2} \ \)，\( \ R_{3} \ \)，静電容量\( \ C_{1} \ \)，\( \ C_{2} \ \)，電圧源\( \ E \ \)及びスイッチ\( \ \mathrm {S}_{1} \ \)，\( \ \mathrm {S}_{2} \ \)からなる回路がある。スイッチを次のように開閉したとき，抵抗\( \ R_{2} \ \)に流れる電流\( \ i \ \)と静電容量\( \ C_{1} \ \)，\( \ C_{2} \ \)の両端の電圧\( \ v_{1} \ \)，\( \ v_{2} \ \)の時間的変化を求めたい。静電容量\( \ C_{1} \ \)，\( \ C_{2} \ \)にある電荷をそれぞれ\( \ q_{1} \ \)，\( \ q_{2} \ \)とする。
時間\( \ t＜0 \ \)ではスイッチ\( \ \mathrm {S}_{1} \ \)，\( \ \mathrm {S}_{2} \ \)は閉じた状態にあり，回路は定常状態であるとする。\( \ V_{1}= \ \fbox { （１） } \ \)，\( \ V_{2}= \ \fbox { （２） } \ \)である。このときの\( \ q_{1} \ \)，\( \ q_{2} \ \)をそれぞれ\( \ Q_{10} \ \)，\( \ Q_{20} \ \)とする。
時刻\( \ t=0 \ \)において，スイッチ\( \ \mathrm {S}_{1} \ \)，\( \ \mathrm {S}_{2} \ \)を同時に開いた。時間\( \ t＞0 \ \)における電流\( \ i \ \)と電圧\( \ v_{1} \ \)，\( \ v_{2} \ \)の時間的変化を考える。
\( \ C_{1} \ \)から\( \ C_{2} \ \)への電荷の移動量を\( \ q \ \)とすると，\( \ v_{1} \ \)，\( \ v_{2} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{ll}
& \displaystyle v_{1}=\frac {q_{1}}{C_{1}}=\frac {Q_{10}-q}{C_{1}} \\
& \displaystyle v_{2}=\frac {q_{2}}{C_{2}}=\frac {Q_{20}+q}{C_{2}} \\
\end{array}
\right\} \ ・・・・・・・・・・・・ ①
\end{eqnarray}
\]
となる。また，次の\( \ v_{1} \ \)と\( \ v_{2} \ \)，電流\( \ i \ \)と電荷\( \ q \ \)の関係式
\[
\begin{eqnarray}
v_{1}&=&v_{2}+R_{2}i &・・・・・・・・・・・・・・・・ ②& \\[ 5pt ]
i&=&\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t} &・・・・・・・・・・・・・・・・ ③& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
より，\( \ q \ \)についての微分方程式を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}+\left( \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}\right) q&=&\frac {Q_{10}}{C_{1}}-\frac {Q_{20}}{C_{2}} \ &・・・・ ④& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。この式を初期条件を考慮して解くと，\( \ q \ \)は次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
q&=& \ \fbox { （３） } \ \times \left( 1-\mathrm {e}^{ \ \fbox { （４） } \ \times t} \right) \ \ &・・・・・・・ ⑤& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
この\( \ q \ \)を③式に代入すると\( \ i \ \)，①式に代入すると\( \ v_{1} \ \)，\( \ v_{2} \ \)が求まる。ここで，\( \ v_{1} \ \)，\( \ v_{2} \ \)の時間的変化を表す図は\( \ \fbox { （５） } \ \)である。
〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} &（ロ）& \frac {C_{1}Q_{10}-C_{2}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} &（ハ）& \frac {C_{2}Q_{10}+C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}E &（ホ）& -\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} &（ヘ）& \frac {R_{3}}{R_{2}+R_{3}}E \\[ 5pt ]
&（ト）& E &（チ）& \frac {C_{1}-C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} &（リ）& \frac {R_{2}+R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}E \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}E &（ル）& -\frac {C_{1}-C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} &（ヲ）& \frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
抵抗とコンデンサを直並列した回路の過渡現象に関する問題です。
(3)以降の計算量が多いので，(1)及び(2)は絶対に失点しないようにしましょう。
過渡現象の計算に慣れたら(3)は定常解を求めた時点，(4)は過渡解を求めた時点で確定しても良いかもしれません。
1.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧
過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧は，線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし，抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{R}} \ \)，リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{L}} \ \)，リアクトル\( \ C \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{C}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ]
v_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，一般解\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチをオンまたはオフした直後の解で，直前の電圧や電流から変化する時の解です。
3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left( \ln {x}\right) &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x &=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
\ln {x}&=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となった場合，両辺とも対数を外すと，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：リ
回路は定常状態になるので，コンデンサは開放と考えれば良い。したがって，図1に示す閉回路に分圧の法則を適用すると，\( \ v_{1} \ \)は\( \ R_{2} \ \)と\( \ R_{3} \ \)に加わる電圧であるから，
\[
\begin{eqnarray}
v_{1}&=&\frac {R_{2}+R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ニ
(1)と同様に，図1に示す閉回路に分圧の法則を適用すると，\( \ v_{2} \ \)は\( \ R_{3} \ \)に加わる電圧であるから，
\[
\begin{eqnarray}
v_{2}&=&\frac {R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：イ
(4)解答：ホ
④式について，定常解を\( \ q_{\mathrm {s}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}\right) q_{\mathrm {s}}&=&\frac {Q_{10}}{C_{1}}-\frac {Q_{20}}{C_{2}} \\[ 5pt ]
\frac {C_{1}+C_{2}}{C_{1}C_{2}}\cdot q_{\mathrm {s}}&=&\frac {Q_{10}}{C_{1}}-\frac {Q_{20}}{C_{2}} \\[ 5pt ]
q_{\mathrm {s}}&=&\left( \frac {Q_{10}}{C_{1}}-\frac {Q_{20}}{C_{2}}\right) \cdot \frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {C_{2}Q_{10}}{C_{1}+C_{2}}-\frac {C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。次に，過渡解を\( \ q_{\mathrm {t}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}\frac {\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t}+\left( \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}\right) q_{\mathrm {t}}&=&0 \\[ 5pt ]
R_{2}\frac {\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t}&=&-\left( \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}\right) q_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ]
\frac {1}{q_{\mathrm {t}}}\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}&=&-\frac {1}{R_{2}}\left( \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}\right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
&=&-\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変数分離できるので，両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{q_{\mathrm {t}}}\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}&=&\int -\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\ln q_{\mathrm {t}}&=& -\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} t+C \left( C \ は積分定数 \ \right) \\[ 5pt ]
q_{\mathrm {t}}&=& A\mathrm {e}^{-\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} t} \left( A=\mathrm {e}^{C} \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，一般解\( \ q \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
q&=&q_{\mathrm {s}}+q_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}+A\mathrm {e}^{-\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，初期条件\( \ t=0 \ \)のとき電荷の移動量\( \ q=0 \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}+A\mathrm {e}^{-\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} \times 0} \\[ 5pt ]
0&=&\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}+A \\[ 5pt ]
A&=&-\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，
\[
\begin{eqnarray}
q&=&\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}-\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}\mathrm {e}^{-\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} t} \\[ 5pt ]
&=&\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}} t}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：カ
(1)及び(2)解答式より\( \ t=0 \ \)においては\( \ v_{1}＞v_{2} \ \)である。
また，(4)より，\( \ t→\infty \ \)における\( \ q \ \)は定常解\( \ \displaystyle q_{\mathrm {s}}=\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \ \)であるから，これを①式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{1}\left( \infty \right) &=&\frac {Q_{10}-q_{\mathrm {s}}}{C_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q_{10}-\displaystyle \frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {\left( C_{1}+C_{2}\right) Q_{10}}{C_{1}+C_{2}}-\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {C_{1}Q_{10}+C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q_{10}+Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
v_{2}\left( \infty \right) &=&\frac {Q_{20}+q_{\mathrm {s}}}{C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q_{20}+\displaystyle \frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {\left( C_{1}+C_{2}\right) Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}+\frac {C_{2}Q_{10}-C_{1}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {C_{2}Q_{10}+C_{2}Q_{20}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q_{10}+Q_{20}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，同値に収束していくので正しいグラフは（カ）と求められる。
［別解］
(1)及び(2)解答式より\( \ t=0 \ \)においては\( \ v_{1}＞v_{2} \ \)である。
また，定常状態においては電荷の移動がなくなり\( \ i=0 \ \)となるので，\( \ R_{2} \ \)での電圧降下がなくなり\( \ v_{1}=v_{2} \ \)となる。
したがって，正しいグラフは（カ）と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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