《理論》〈電気及び電子計測〉[R08:問4]交流用のディジタル計測器に関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，アナログ－ディジタル変換器$ \ \mathrm {(ADC)} \ $と，$ \ \mathrm {ADC} \ $を用いた交流用のディジタル計測器に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図は，$ \ \mathrm {ADC} \ $を用いた交流用のディジタル計測器で，絶縁のための変圧器（変圧比$ \ 1:1 \ $）及び変流器（変流比$ \ 1:1 \ $），$ \ R= 1 \ \mathrm {\Omega } \ $のシャント抵抗，カットオフ周波数$ \ f_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[Hz]} \ $を超える周波数の信号を遮断する理想ローパスフィルタ$ \ \mathrm {(LPF)} \ $，理想$ \ \mathrm {ADC} \ $，ディジタル演算回路及び表示器で構成されている。

一般に，$ \ \mathrm {ADC} \ $の前段に$ \ \mathrm {LPF} \ $を設けるが，その目的は，$ \ \fbox {　（１）　} \ $である。そのため，$ \ f_{\mathrm {c}} \ $と$ \ \mathrm {ADC} \ $のサンプリング周波数$ \ f_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[Hz]} \ $は，$ \ \fbox {　（２）　} \ $の関係を満たす必要がある。

ここで，時刻$ \ t \ $における入力電圧を$ \ U(t) \ \mathrm {[V]} \ $，入力電流を$ \ I(t) \ \mathrm {[A]} \ $とし，それらの周期を$ \ T \ \mathrm {[s]} \ $とする。なお，入力に含まれる交流の最大周波数$ \ f_{\mathrm {max}} \ $は，$ \ f_{\mathrm {max}} \lt f_{\mathrm {c}} \ $を満たしており，$ \ \mathrm {ADC} \ $への入力電圧$ \ u(t) \ $及び$ \ i(t) \ $は，$ \ u(t)=U(t) \ $，$ \ i(t)=RI(t) \ $となる。

サンプリング周波数$ \ f_{\mathrm {s}} \ $で，$ \ 1 \ $周期当たり$ \ M \ $回$ \ \mathrm {( M \gt 3 )} \ $サンプルし，得られたサンプル値を順に$ \ u_{1} \ $，$ \ u_{2} \ $，$ \ u_{3} \ $，$ \ \cdots \ $，$ \ u_{M} \ $及び$ \ i_{1} \ $，$ \ i_{2} \ $，$ \ i_{3} \ $，$ \ \cdots \ $，$ \ i_{M} \ $とすると，電圧実効値は，$ \ u(t) \ $のサンプル値の二乗平均の平方根をとった値なので$ \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[V]} \ $となる。また，平均電力は，瞬時電力の平均値であるから，$ \ \fbox {　（４）　} \ \mathrm {[W]} \ $となる。さらに，$ \ 1 \ $周期における電力量は，$ \ \fbox {　（５）　} \ \mathrm {[J]} \ $で求められる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　M\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k}　　　　　&（ロ）&　量子化誤差の低減 \\[ 5pt ] &（ハ）&　MT\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k}　　　　　&（ニ）&　\sqrt {\frac {1}{T}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}} \\[ 5pt ] &（ホ）&　\sqrt {\frac {1}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}}　　　　　&（ヘ）&　折り返し誤差の防止 \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {1}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k}　　　　　&（チ）&　f_{\mathrm {c}}\gt \frac {f_{\mathrm {s}}}{2} \\[ 5pt ] &（リ）&　\frac {T}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k}　　　　　&（ヌ）&　f_{\mathrm {c}}\lt \frac {f_{\mathrm {s}}}{2} \\[ 5pt ] &（ル）&　\frac {1}{T}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k}　　　　　&（ヲ）&　f_{\mathrm {c}}=f_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　T\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k}　　　　　&（カ）&　感度の向上 \\[ 5pt ] &（ヨ）&　\sqrt {M\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}}　&& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

アナログ－ディジタル変換器$ \ \mathrm {(ADC)} \ $と交流用のディジタル計測器に関する問題です。
$ \ \mathrm {A-D} \ $変換と平均値・実効値の定義を理解していると完答を目指せる問題です。離散データの平均値・実効値は連続関数の平均値・実効値と一緒に理解すると覚えやすいので，関連させて覚えておくようにしましょう。

1.離散データの平均値と実効値
$ \ x_{1} \ $，$ \ x_{2} \ $，$ \ x_{3} \ $，$ \ \cdots \ $，$ \ x_{N} \ $の$ \ N \ $個のデータがあるとき，平均値と実効値は以下の通りとなります。

①平均値$ \ x_{\mathrm {av}} \ $
\[
\begin{eqnarray}
x_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{N}\sum_{k=1}^{N} x_{k} \\[ 5pt ] &=&\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{N}}{N} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

②実効値$ \ x_{\mathrm {rms}} \ $　
\[
\begin{eqnarray}
x_{\mathrm {rms}}&=&\sqrt {\frac {1}{N}\displaystyle \sum_{k=1}^{N} {x_{k}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {\frac {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\cdots +{x_{N}}^{2}}{N}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

2.ディジタル伝送方式
ディジタル伝送方式は，アナログ量である情報をディジタル量に変換（$ \ \mathrm {A ／ D} \ $変換）してから情報を伝送する仕組みで，下記のような過程を経て情報を伝送します。量子化されていることから雑音（ノイズ）の影響を受けにくいことやコンピュータで処理しやすい等の特長があります。

①標本化（サンプリング）
　アナログ量の大きさを一定周期$ \ T \ $ごとに読み取り，期間$ \ T \ $の間はその値が一定であるようにすることです。$ \ \displaystyle \frac {1}{T} \ $をサンプリング周波数と言います。サンプリング周波数の$ \ \displaystyle \frac {1}{2} \ $以上の周波数（ナイキスト周波数）を持つと，折り返し誤差が発生する（エイリアシング現象）ので，ローパスフィルタ（低域通過フィルタ）で除去する必要があります。

②量子化
　標本化した情報を$ \ \mathrm {A ／ D} \ $変換器でディジタル値に変換することを言います。

③符号化
　量子化した情報をサンプリング周波数毎にパルス化することを言います。

【解答】

(1)解答：ヘ
題意より，解答候補は（ロ）量子化誤差の低減，（ヘ）折り返し誤差の防止，（カ）感度の向上，になると思います。
ワンポイント解説「2.ディジタル伝送方式」の通り，ローパスフィルタ$ \ \mathrm {(LPF)} \ $の目的は折り返し誤差の防止となります。

(2)解答：ヌ
題意より，解答候補は（チ）$ \ \displaystyle f_{\mathrm {c}}\gt \frac {f_{\mathrm {s}}}{2} \ $，（ヌ）$ \ \displaystyle f_{\mathrm {c}}\lt \frac {f_{\mathrm {s}}}{2} \ $，（ヲ）$ \ f_{\mathrm {c}}=f_{\mathrm {s}} \ $，になると思います。
ワンポイント解説「2.ディジタル伝送方式」の通り，カットオフ周波数$ \ f_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[Hz]} \ $と$ \ \mathrm {ADC} \ $のサンプリング周波数$ \ f_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[Hz]} \ $は，$ \ \displaystyle f_{\mathrm {c}}\lt \frac {f_{\mathrm {s}}}{2} \ $の関係を満たす必要があります。

(3)解答：ホ
題意より，解答候補は（ニ）$ \ \displaystyle \sqrt {\frac {1}{T}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}} \ $，（ホ）$ \ \displaystyle \sqrt {\frac {1}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}} \ $，（ヨ）$ \ \displaystyle \sqrt {M\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}} \ $，になると思います。
$ \ u_{1} \ $，$ \ u_{2} \ $，$ \ u_{3} \ $，$ \ \cdots \ $，$ \ u_{M} \ $の電圧実効値$ \ U_{\mathrm {rms}} \ $は，ワンポイント解説「1.離散データの平均値と実効値」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
U_{\mathrm {rms}}&=&\sqrt {\frac {1}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} {u_{k}}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

(4)解答：ト
題意より，解答候補は（イ）$ \ M\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \ $，（ト）$ \ \displaystyle \frac {1}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \ $，（ル）$ \ \displaystyle \frac {1}{T}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \ $，になると思います。
各時間の瞬時電力は，$ \ u_{1}i_{1} \ $，$ \ u_{2}i_{2} \ $，$ \ u_{3}i_{3} \ $，$ \ \cdots \ $，$ \ u_{M}i_{M} \ $なので，平均値$ \ P_{\mathrm {av}} \ \mathrm {[W]} \ $は，ワンポイント解説「1.離散データの平均値と実効値」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

(5)解答：リ
題意より，解答候補は（ハ）$ \ MT\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \ $，（リ）$ \ \displaystyle \frac {T}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \ $，（ワ）$ \ T\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \ $，になると思います。
$ \ 1 \ $周期における電力量$ \ W \ \mathrm {[J]} \ $は，電力の平均値$ \ P_{\mathrm {av}} \ \mathrm {[W]} \ $と時間$ \ T \ \mathrm {[s]} \ $の積であるから，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&P_{\mathrm {av}}T \\[ 5pt ] &=&\frac {T}{M}\displaystyle \sum_{k=1}^{M} u_{k}i_{k} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。