《理論》〈電磁気〉[R08:問6]誘電体の厚さが変化する平行平板コンデンサに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，平行板コンデンサに関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように，距離$ \ 2d \ $で正対する一辺$ \ 2a \ $の正方極板$ \ \mathrm {A} \ $と$ \ \mathrm {B} \ $からなる平行板コンデンサがある。$ \ \mathrm {AB} \ $間には，極板$ \ \mathrm {A} \ $に接するように誘電率$ \ \varepsilon \ $の誘電体が挿入されており，誘電体の極板$ \ \mathrm {B} \ $側の表面には厚さの無視できる極板$ \ \mathrm {C} \ $が張り付けられている。ただし，残りの部分は誘電率$ \ \varepsilon _{0} \ $の真空であるとし，端効果は無視する。

図では，極板$ \ \mathrm {A} \ $と$ \ \mathrm {B} \ $に垂直で$ \ 1 \ $辺に対して平行な任意の断面が描かれており，紙面に平行な任意の断面に対して誘電体の断面は同じである。図の左端と右端の誘電体の厚さは，それぞれ$ \ d-b \ $と$ \ d+b \ \left( 0≦b≪d\right) \ $であるため，誘電体が極板間の体積のちょうど半分だけ封入されていることになる。

図の$ \ x \ $軸方向の区間$ \ l≦x≦l+\mathrm {d}l \ $において，$ \ x \ $軸に垂直な平面でこのコンデンサを仮想的に切り取った細長い平行板コンデンサを考える。なお，$ \ \mathrm {d}l \ $は十分小さくその中で誘電体の厚さは同じものとする。このとき，切り取った部分における$ \ \mathrm {AC} \ $間の静電容量は，$ \ \fbox {　（１）　} \ $である。

$ \ \fbox {　（１）　} \ $を$ \ -a≦l≦a \ $の範囲で積分すると，$ \ \mathrm {AC} \ $間全体の静電容量が$ \ \fbox {　（２）　} \ $と計算できる。また，対称性から$ \ \mathrm {CB} \ $間全体の静電容量は$ \ \fbox {　（３）　} \ $である。

よって，$ \ \mathrm {AB} \ $間全体の静電容量は$ \ \fbox {　（４）　} \ $である。ここで，対数関数について成り立つ下の近似式を用いると，$ \ \mathrm {AB} \ $間全体の静電容量は$ \ \fbox {　（５）　} \ $のように近似できる。この式から，$ \ b \ $をゼロから増やしたとき，$ \ \mathrm {AB} \ $間全体の静電容量は$ \ \fbox {　（６）　} \ $ことがわかる。
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\ln \left( 1+\mathit {\Delta }\right) ≈\displaystyle \mathit {\Delta }-\frac {\mathit {\Delta }^{2}}{2}+\frac {\mathit {\Delta }^{3}}{3} \\
\ln \left( 1-\mathit {\Delta }\right) ≈\displaystyle -\mathit {\Delta }-\frac {\mathit {\Delta }^{2}}{2}-\frac {\mathit {\Delta }^{3}}{3} \\
\end{array}
\right.\left( \mathit {\Delta }≪1\right)
\end{eqnarray}
\]

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\varepsilon \frac {2a}{\displaystyle d+\frac {b}{a}l}\mathrm {d}l　　　　　&（ロ）&　減る　　　　　&（ハ）&　4\left( \varepsilon +\varepsilon _{0}\right) \frac {a^{2}}{d} \\[ 5pt ] &（ニ）&　変わらない　　　　　&（ホ）&　\varepsilon \frac {2a}{\displaystyle d-\frac {b}{a}l}\mathrm {d}l　　　　　&（ヘ）&　増える \\[ 5pt ] &（ト）&　2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) 　　　　　&（チ）&　4\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{d}\ln \left( 1+\frac {b^{2}}{3d^{2}}\right) 　　　　　&（リ）&　2\left( \varepsilon -\varepsilon _{0}\right) \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d-b}{d+b}\right) \\[ 5pt ] &（ヌ）&　2\varepsilon \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d-b}{d+b}\right) 　　　　　&（ル）&　2\varepsilon _{0}\frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d}{b}\right)　　　　　&（ヲ）&　4\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{d}\ln \left( 1-\frac {b}{2d}\right) \\[ 5pt ] &（ワ）&　\varepsilon \frac {2ab}{\displaystyle d+\frac {\mathrm {d}l}{a}l}　　　　　&（カ）&　2\varepsilon \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right)　　　　　&（ヨ）&　2\varepsilon \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d}{b}\right) \\[ 5pt ] &（タ）&　2\left( \varepsilon +\varepsilon _{0}\right) \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right)　　　　　&（レ）&　2\varepsilon _{0} \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d-b}{d+b}\right)　　　　　&（ソ）&　2\varepsilon _{0} \frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

挿入する誘電体の厚さが連続的に変化する平行平板コンデンサに関する問題です。
$ \ 2 \ $種までに学習した平行平板コンデンサの基本を理解した上で，微分積分を使用しさらに近似計算を行う$ \ 1 \ $種らしい難問であり良問であると言えます。

1.電荷$ \ Q \ $と静電容量$ \ C \ $及び電圧$ \ V \ $の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷$ \ Q \ \mathrm {[C]} \ $と静電容量$ \ C \ \mathrm {[F]} \ $及び電圧$ \ V \ \mathrm {[V]} \ $には，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

2.平行平板コンデンサの静電容量$ \ C \ $
平行平板コンデンサの静電容量$ \ C \ \mathrm {[F]} \ $は，真空の誘電率を$ \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ $，極板の面積を$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，極板間の距離を$ \ d \ \mathrm {[m]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率$ \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ $の誘電体を挿入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.コンデンサの合成静電容量
コンデンサ容量が$ \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ $と$ \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ $のコンデンサがある場合，直並列の合成静電容量$ \ C \ \mathrm {[F]} \ $は下記の通りとなります。抵抗の場合と直並列が逆になることを知っておきましょう。
①並列回路の合成静電容量
\[
\begin{eqnarray}
C&=&C_{1}+C_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②直列回路の合成静電容量
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{C}&=&\frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)解答：イ
図1に示すように，$ \ 2a \ $の間に$ \ 2b \ $厚さは変化し，その傾きは$ \ \displaystyle \frac {b}{a} \ $となるので，$ \ x=l \ $における誘電体部の厚さ$ \ t \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
t&=&d+\frac {b}{a}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，微小区間$ \ \mathrm {d}l \ $における面積$ \ \mathrm {d}S \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}S&=&2a\mathrm {d}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，この部分における$ \ \mathrm {AC} \ $間の静電容量$ \ \mathrm {d}C_{1} \ $は，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量$ \ C \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}C_{1}&=&\frac {\varepsilon \mathrm {d}S}{t} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \varepsilon \cdot 2a\mathrm {d}l}{\displaystyle d+\frac {b}{a}l} \\[ 5pt ] &=&\varepsilon \frac {2a}{\displaystyle d+\frac {b}{a}l}\mathrm {d}l　 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：カ
(1)解答式を両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1}&=&\int _{-a}^{a}\varepsilon \frac {2a}{\displaystyle d+\frac {b}{a}l}\mathrm {d}l　 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ \displaystyle A=d+\frac {b}{a}l \ $とおけば，$ \ l=-a \ $のとき$ \ A=d-b \ $，$ \ l=a \ $のとき$ \ A=d+b \ $，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}l}&=&\frac {b}{a}　 \\[ 5pt ] \mathrm {d}l&=&\frac {a}{b}\mathrm {d}A　 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1}&=&\int _{d-b}^{d+b}\varepsilon \frac {2a}{A}\cdot \frac {a}{b}\mathrm {d}A \\[ 5pt ] &=&2\varepsilon \frac {a^{2}}{b}\int _{d-b}^{d+b}\frac {1}{A} \mathrm {d}A \\[ 5pt ] &=&2\varepsilon \frac {a^{2}}{b}\left[ \ln A\right] _{d-b}^{d+b} \\[ 5pt ] &=&2\varepsilon \frac {a^{2}}{b}\left\{ \ln \left( d+b\right) -\ln \left( d-b\right) \right\} \\[ 5pt ] &=&2\varepsilon \frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ソ
問題図より，真空部も誘電体部も全く同じ形をしていることがわかる。したがって，(2)解答式を$ \ \varepsilon →\varepsilon _{0} \ $とすれば良いので，真空部の静電容量$ \ C_{0} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
C_{0}&=&2\varepsilon _{0}\frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ト
$ \ \mathrm {AB} \ $間全体の静電容量$ \ C \ $は$ \ C_{0} \ $と$ \ C_{1} \ $を直列接続したものと考えればよいので，ワンポイント解説「3.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {C_{1}C_{0}}{C_{1}+C_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle 2\varepsilon \frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \cdot 2\varepsilon _{0}\frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) }{\displaystyle 2\varepsilon \frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) +2\varepsilon _{0}\frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle 4\varepsilon \varepsilon _{0}\left( \frac {a^{2}}{b}\right) ^{2} \left\{ \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \right\} ^{2} }{\displaystyle 2\left( \varepsilon +\varepsilon _{0}\right) \frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle 2\varepsilon \varepsilon _{0}\frac {a^{2}}{b} \ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) }{\displaystyle \varepsilon +\varepsilon _{0} } \\[ 5pt ] &=&2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：チ
(4)解答式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {d+b}{d-b}\right) \\[ 5pt ] &=&2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\ln \left( \frac {\displaystyle 1+\frac {b}{d}}{\displaystyle 1-\frac {b}{d}}\right) \\[ 5pt ] &=&2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\left\{ \ln \left( 1+\frac {b}{d}\right) -\ln \left( 1-\frac {b}{d}\right)\right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，与えられている近似式を適用すれば，
\[
\begin{eqnarray}
C&≈&2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\left[ \frac {b}{d}-\frac {\displaystyle \left( \frac {b}{d}\right) ^{2}}{2}+\frac {\displaystyle \left( \frac {b}{d}\right) ^{3}}{3} -\left\{ -\frac {b}{d}-\frac {\displaystyle \left( \frac {b}{d}\right) ^{2}}{2}-\frac {\displaystyle \left( \frac {b}{d}\right) ^{3}}{3} \right\} \right] \\[ 5pt ] &=&2\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\left\{ 2\frac {b}{d}+2\frac {\displaystyle \left( \frac {b}{d}\right) ^{3}}{3} \right\} \\[ 5pt ] &=&4\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{b}\left( \frac {b}{d}+\frac {b^{3}}{3d^{3}} \right) \\[ 5pt ] &=&4\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{\varepsilon +\varepsilon _{0}}\frac {a^{2}}{d}\left( 1+\frac {b ^{2}}{3d^{2}} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(6)解答：ヘ
(5)解答式より，$ \ b \ $を増やしていくと，静電容量$ \ C \ $も増えていくことがわかります。