【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，発振回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図1の回路はヒステリシスコンパレータと積分回路からなる発振回路である。各素子の値は図内に示した変数で表され，電圧，抵抗値及び静電容量の単位はそれぞれ\( \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ \mathrm {[F]} \ \)である。また，演算増幅器の非反転入力端子の電位\( \ V_{\mathrm {+}} \ \)と反転入力端子の電位\( \ V_{\mathrm {-}} \ \)の電位差\( \ V_{\mathrm {+}}-V_{\mathrm {-}} \ \)と出力電圧\( \ V_{\mathrm {o}} \ \)の間には図2の関係があり，その他の特性は理想とする。
まず，ヒステリシスコンパレータの動作を考える。演算増幅器\( \ 1 \ \)の非反転入力端子の電位\( \ V_{\mathrm {+,1}} \ \)は，節点\( \ \mathrm {A} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)と節点\( \ \mathrm {B} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)を\( \ R_{\mathrm {1}} \ \)と\( \ R_{\mathrm {2}} \ \)で分圧した電圧であるから，\( \ V_{\mathrm {+,1}}= \ \fbox { （１） } \ \)となる。演算増幅器\( \ 1 \ \)の出力\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)は，\( \ V_{\mathrm {+,1}} \ \)の値に応じて\( \ -V_{\mathrm {L}} \ \)または\( \ V_{\mathrm {H}} \ \)となる。まず\( \ V_{\mathrm {B}}=-V_{\mathrm {L}} \ \)のときに\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が負の値から時間とともに増加する場合を考える。\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \fbox { （２） } \ \)となるとき\( \ V_{\mathrm {+,1}} \ \)は\( \ 0 \ \mathrm {V} \ \)となるため，\( \ \fbox { （２） } \ \)は\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)が\( \ -V_{\mathrm {L}} \ \)から\( \ V_{\mathrm {H}} \ \)に変化するしきい値であることがわかる。同様に，\( \ V_{\mathrm {B}}=V_{\mathrm {H}} \ \)の状態で\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が正の値から減少する場合を考える。\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \fbox { （３） } \ \)となると，\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)は\( \ V_{\mathrm {H}} \ \)から\( \ -V_{\mathrm {L}} \ \)に変化する。以上より，ヒステリシスコンパレータは，現在の出力に応じて，しきい値が変わることがわかる。
ヒステリシスコンパレータの出力\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)は積分回路に入力される。積分回路の入力電圧を\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)とすると積分回路の出力電圧\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)は傾き\( \ \displaystyle -\frac {V_{\mathrm {B}}}{CR_{3}} \ \mathrm {[V / s]} \ \)で時間とともに変化する。
以上の性質を用いて図1の発振回路の発振周期を求める。回路は安定した発振動作をしており，ある時刻でヒステリシスコンパレータの出力\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)が\( \ V_{\mathrm {H}} \ \)から\( \ -V_{\mathrm {L}} \ \)に変化したとする。このときの\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)は\( \ \fbox { （３） } \ \)である。\( \ V_{\mathrm {B}}=-V_{\mathrm {L}} \ \)であるとき，\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)は\( \ \displaystyle \frac {V_{\mathrm {L}}}{CR_{3}} \ \)の傾きで増加するため\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \fbox { （３） } \ \)から\( \ \fbox { （２） } \ \)まで変化するために要する時間は\( \ \fbox { （４） } \ \mathrm {[s]} \ \)となる。\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \fbox { （２） } \ \)となると\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)は\( \ -V_{\mathrm {L}} \ \)から\( \ V_{\mathrm {H}} \ \)に変化するため\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)は減少に転じ，その傾きは\( \ \displaystyle -\frac {V_{\mathrm {H}}}{CR_{3}} \ \)となる。この発振回路の周期は，\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \fbox { （２） } \ \)から再び\( \ \fbox { （３） } \ \)まで変化するために要する時間と\( \ \fbox { （４） } \ \)の和から，\( \ \fbox { （５） } \ \mathrm {[s]} \ \)と求まる。
〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 0 &（ロ）& \frac {CR_{2}R_{3}}{R_{1}}\frac {\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) ^{2}}{V_{\mathrm {H}}V_{\mathrm {L}}} \\[ 5pt ]
&（ハ）& \frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}} &（ニ）& \frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}V_{\mathrm {L}}}\left( V_{\mathrm {H}}-V_{\mathrm {L}}\right) \\[ 5pt ]
&（ホ）& -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}} &（ヘ）& \frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}+\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} &（チ）& \frac {CR_{2}R_{3}}{R_{1}V_{\mathrm {L}}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \\[ 5pt ]
&（リ）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}V_{\mathrm {H}} &（ヌ）& \frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}}\frac {\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) ^{2}}{V_{\mathrm {H}}V_{\mathrm {L}}} \\[ 5pt ]
&（ル）& \frac {R_{2}}{R_{1}}V_{\mathrm {L}} &（ヲ）& \frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}V_{\mathrm {L}}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}}\frac {\left( V_{\mathrm {H}}-V_{\mathrm {L}}\right) ^{2}}{V_{\mathrm {H}}V_{\mathrm {L}}} &（カ）& -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} \\[ 5pt ]
&（ヨ）& \frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}+\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {B}} && \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
演算増幅器を用いた発振回路に関する問題です。
よくある演算増幅器に関する問題ではなく，問題文を読みながら解いていく問題です。\( \ 1 \ \)種では二次試験に向けても高い読解力が求められますので，多くの問題をこなし慣れていくようにして下さい。
【解答】
(1)解答：ヘ
\( \ V_{\mathrm {B}}=0 \ \)として，\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)のみを考えたときの\( \ V_{\mathrm {+,1}} \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm {+,1-A}} \ \)は，分圧の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {+,1-A}}&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ V_{\mathrm {A}}=0 \ \)として，\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)のみを考えたときの\( \ V_{\mathrm {+,1}} \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm {+,1-B}} \ \)は，分圧の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {+,1-B}}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，重ね合わせの理より\( \ V_{\mathrm {+,1}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {+,1}}&=&V_{\mathrm {+,1-A}}+V_{\mathrm {+,1-B}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}+\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ハ
(1)解答式に\( \ V_{\mathrm {B}}=-V_{\mathrm {L}} \ \)及び\( \ V_{\mathrm {+,1}} = 0 \ \mathrm {[V]} \ \)を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}-\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
R_{2}V_{\mathrm {A}}&=&R_{1}V_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {A}}&=&\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：カ
(2)と同様に，(1)解答式に\( \ V_{\mathrm {B}}=V_{\mathrm {H}} \ \)及び\( \ V_{\mathrm {+,1}} = 0 \ \mathrm {[V]} \ \)を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}+\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {H}} \\[ 5pt ]
\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {A}}&=&-\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{\mathrm {H}} \\[ 5pt ]
R_{2}V_{\mathrm {A}}&=&-R_{1}V_{\mathrm {H}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {A}}&=&-\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヲ
\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)は\( \ \displaystyle \frac {V_{\mathrm {L}}}{CR_{3}} \ \)の傾きで増加するため\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \displaystyle -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} \ \)から\( \ \displaystyle \frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}} \ \)まで変化するために要する時間\( \ t_{1} \ \mathrm {[s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
t_{1}&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}}-\left( -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} \right) }{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {L}}}{CR_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}}+\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} }{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {L}}}{CR_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}}{R_{2}}\left( V_{\mathrm {L}}+V_{\mathrm {H}}\right) }{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {L}}}{CR_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}V_{\mathrm {L}}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ヌ
(4)と同様に，傾き\( \ \displaystyle -\frac {V_{\mathrm {H}}}{CR_{3}} \ \)で\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ \displaystyle \frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}} \ \)から再び\( \ \displaystyle -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}} \ \)まで変化するために要する時間\( \ t_{2} \ \mathrm {[s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
t_{2}&=&\frac {\displaystyle -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {H}}-\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{\mathrm {L}} }{\displaystyle -\frac {V_{\mathrm {H}}}{CR_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle -\frac {R_{1}}{R_{2}}\left( V_{\mathrm {H}} +V_{\mathrm {L}}\right) }{\displaystyle -\frac {V_{\mathrm {H}}}{CR_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}V_{\mathrm {H}}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，発振回路の周期\( \ t \ \mathrm {[s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
t&=&t_{1}+t_{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}V_{\mathrm {L}}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) +\frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}V_{\mathrm {H}}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \left( \frac {1}{V_{\mathrm {L}}}+\frac {1}{V_{\mathrm {H}}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}}\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) \frac {V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}}{V_{\mathrm {H}}V_{\mathrm {L}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {CR_{1}R_{3}}{R_{2}}\frac {\left( V_{\mathrm {H}}+V_{\mathrm {L}}\right) ^{2}}{V_{\mathrm {H}}V_{\mathrm {L}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん