《機械》〈照明〉[R08:問4]半球面光源の配光特性と照度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，半球面光源に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1に示すように，均等拡散面とみなせる半球面光源がある。発光面は半球面のみで，底平面は発光しない。半球面の頂点における法線方向の光度を$ \ I_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[cd]} \ $とすると，この法線と光源の中心においてなす角$ \ \theta \ $の方向の光度$ \ I_{\theta } \ \mathrm {[cd]} \ $は$ \ \fbox {　（１）　} \ $で与えられる。また，その配光曲線は$ \ \fbox {　（２）　} \ $のようになる。さらに，この光源の全光束$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $は$ \ \fbox {　（３）　} \ $となる。ただし，円周率は$ \ \pi \ $とする。

次に，図2に示すように，この光源を部屋の天井面に取り付け，部屋の照明を行う。光源の半径は$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $，床面から天井面までの高さは$ \ h \ \mathrm {[m]} \ $で，$ \ h≫r \ $とする。また，光源の中心と床面上の$ \ \mathrm {A} \ $点とを結ぶ直線と光源の中心から床面に下した垂線とがなす角を$ \ \theta _{\mathrm {A}} \ $とする。

$ \ \mathrm {A} \ $点から光源の中心を見たときの輝度$ \ L_{\theta _{\mathrm {A}}} \ \mathrm {[cd / m^{2}]} \ $は$ \ \fbox {　（４）　} \ $となり，$ \ \mathrm {A} \ $点における水平面照度$ \ E_{\theta _{\mathrm {A}}} \ \mathrm {[lx]} \ $は$ \ \fbox {　（５）　} \ $で与えられる。なお，この部屋にはこの光源以外に光源はなく，天井，床，壁など，周囲からの反射光や入射光の影響はないものとする。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　4\pi I_{\mathrm {0}}　　　　　&（ロ）&　\frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta _{\mathrm {A}}\right) \cos ^{3} \theta _{\mathrm {A}}}{2h^{2}} \\[ 5pt ] &（ハ）&　\pi I_{\mathrm {0}} 　　　　　&（ニ）&　\frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta _{\mathrm {A}}\right) \cos ^{2} \theta _{\mathrm {A}}}{2h^{2}} \\[ 5pt ] &（ホ）&　2\pi I_{\mathrm {0}}　　　　　&（ヘ）&　\frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta \right) }{2} \\[ 5pt ] &（ト）&　I_{\mathrm {0}}\cos \theta 　　　　　&（チ）&　\frac {I_{\mathrm {0}}\cos \theta _{\mathrm {A}}}{\pi r^{2}} \\[ 5pt ] &（リ）&　\frac {I_{\mathrm {0}}}{\pi r^{2}\cos \theta _{\mathrm {A}}}　　　　　&（ヌ）&　\frac {I_{\mathrm {0}} \cos ^{4} \theta _{\mathrm {A}}}{h^{2}} \\[ 5pt ] &（ル）&　I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta \right) 　　　　　&（ヲ）&　\frac {I_{\mathrm {0}}}{\pi r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

半球面光源を用いた諸計算に関する問題です。
考え方の基本は球面光源と同じですが，見かけの面積の取扱いがやや高度な問題となります。
基本公式は変わりませんので，よく考えて解いていくようにして下さい。

1.光束$ \ F \ $
光源から出る可視光の量（エネルギー）で，単位は$ \ \mathrm {[lm]} \ $となります。
電磁気の分野の電束に似たようなイメージで良いです。

2.立体角の定義
図4のように球体があり，半径$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $の錐体が球面を切り取った時の面積を$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $とすると，立体角$ \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，平面角$ \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ $で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は$ \ \theta = \pi \ $の時であり，$ \ \omega =4\pi \ $となります。

3.光度$ \ I \ $
ある方向に向かう光束$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $を立体角$ \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ $で割ったもので，光度$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $を式で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.照度$ \ E \ $
単位面積あたりの光束で単位は$ \ \mathrm {[lx]} \ $で，図6のように光源から面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $の面に入射する光束が$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $であるとき，平均照度$ \ E \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
また，光源からある方向へ向かう光度が$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $であるとき，光源からの距離$ \ l \ \mathrm {[m]} \ $離れた垂直面の照度$ \ E \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {I}{l^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。このように，一般に物理量が$ \ 2 \ $乗に反比例する法則を逆$ \ 2 \ $乗の法則といいます。

5.光束発散度$ \ M \ $
光源・反射面・透過面等の単位面積あたりから発散する光束をいい，面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $から発散する光束を$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $とすると，光束発散度$ \ M \ \mathrm {[lm/m^{2}]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
M&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

6.輝度$ \ L \ $
図8のように，ある方向から見た光源のまぶしさを表す指標で，光源からある方向へ向かう光度が$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $であるとき，輝度$ \ L \ \mathrm {[cd/m^{2}]} \ $は，同じ方向から照明を見た投影面積を$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
L&=&\frac {I}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

7.水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ $
図9のように，点光源から光度$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $で$ \ \mathrm {C} \ $点に向かって光が照射されているとき，法線照度$ \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {n}} &=&\frac {I}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表され，水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[lx]} \ $は，$ \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ $の余弦であるから，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&E_{\mathrm {n}}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{r^{2}}\cdot \frac {h}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {hI}{r^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ヘ
均等拡散面においては輝度は等しいと考えられるので，その大きさを$ \ L \ \mathrm {[cd/m^{2}]} \ $とする。鉛直方向のみかけの面積$ \ S_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[m^{2}]} \ $となす角$ \ \theta \ $方向の見かけの面積$ \ S_{\mathrm {\theta }} \ \mathrm {[m^{2}]} \ $は図10の通り，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {0}} &=&\pi r^{2} \\[ 5pt ] S_{\mathrm {\theta }}&=&\frac {1}{2}\pi r^{2}+\frac {1}{2}\pi r^{2}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\pi r^{2}\frac { 1+\cos \theta }{2} \\[ 5pt ] &=&S_{\mathrm {0}}\frac { 1+\cos \theta }{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，なす角$ \ \theta \ $の方向の光度$ \ I_{\theta } \ \mathrm {[cd]} \ $は，ワンポイント解説「6.輝度$ \ L \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\theta } &=&LS_{\mathrm {\theta }} \\[ 5pt ] &=&LS_{\mathrm {0}}\frac { 1+\cos \theta }{2} \\[ 5pt ] \\[ 5pt ] &=&\frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta \right) }{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ワ
(1)の通り，光度$ \ I_{\theta } \ \mathrm {[cd]} \ $は，見かけの面積に比例するから，各部の見かけの面積を考えると図11の通りとなる。

したがって，配光曲線として適当なのは図$ \ \mathrm {a} \ $と求められる。

(3)解答：ホ
半円の立体角は$ \ 2\pi \ \mathrm {[sr]} \ $なので，光源の全光束$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $は，ワンポイント解説「3.光度$ \ I \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&2\pi I_{\mathrm {0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヲ
均等拡散面においてはどの方向から見ても輝度は等しいので，$ \ \mathrm {A} \ $点から光源の中心を見たときの輝度$ \ L_{\theta _{\mathrm {A}}} \ \mathrm {[cd / m^{2}]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
L_{\theta _{\mathrm {A}}} &=&\frac {I_{\mathrm {0}}}{\pi r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ロ
光源から$ \ \mathrm {A} \ $点までの距離は$ \ \displaystyle \frac {h}{\cos \theta _{\mathrm {A}}} \ \mathrm {[m]} \ $であるから，$ \ \mathrm {A} \ $点での法線照度$ \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ $は，ワンポイント解説「7.水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {n}} &=&\frac {I_{\theta } }{\left( \displaystyle \frac {h}{\cos \theta _{\mathrm {A}}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta _{\mathrm {A}} \right) }{2}}{\left( \displaystyle \frac {h}{\cos \theta _{\mathrm {A}}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta _{\mathrm {A}}\right) \cos ^{2} \theta _{\mathrm {A}}}{2h^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[lx]} \ $は，ワンポイント解説「7.水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&E_{\mathrm {n}}\cos \theta _{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] &=&\frac {I_{\mathrm {0}}\left( 1+\cos \theta _{\mathrm {A}}\right) \cos ^{3} \theta _{\mathrm {A}}}{2h^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。