【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，三相結線変圧器の励磁電流に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。
変圧器の励磁電流は，鉄心の磁気飽和及びヒステリシスのため，巻線に正弦波電圧を加えたとき，多くの奇数次高調波を含んだひずみ波となる。単相変圧器を単相回路で使用した場合は，このような励磁電流が流れて正弦波の誘導起電力が発生する。しかし，単相変圧器\( \ 3 \ \)台を中性点非接地の\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線とした場合では必ずしも正弦波の誘導起電力が発生するわけではない。これを理論的に説明すると，次のようになる。
中性点が非接地の\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線で，一次側の線間に正弦波電圧を加えた場合，二次側の線間電圧は正弦波電圧となる。しかし，中性点に向かう各相の励磁電流に含まれる\( \ \fbox { （１） } \ \)の倍数次の高調波は\( \ \fbox { （２） } \ \)から，中性点が非接地のため零でなければならない。このため各相変圧器二次側の誘導起電力は高調波を含むひずみ波となる。
各相の変圧器二次側の誘導起電力を
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{l}
&& e_{\mathrm {u}}&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \sqrt {2}E_{n}\sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) \\[ 5pt ]
&& e_{\mathrm {v}}&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \sqrt {2}E_{n}\sin \left[ n\left( \omega t-\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{n}\right] \\[ 5pt ]
&& e_{\mathrm {w}}&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \sqrt {2}E_{n}\sin \left[ n\left( \omega t+\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{n}\right] \\[ 5pt ]
\end{array}
\right\} ・・・・・・・・・ ①
\end{eqnarray}
\]
とする。ただし，\( \ n \ \)は奇数，\( \ \omega \ \)は基本波の角周波数，\( \ E_{n} \ \)及び\( \ \phi _{n} \ \)は\( \ n \ \)次高調波電圧の実効値及び位相である。\( \ \mathrm {u} \ \)，\( \ \mathrm {v} \ \)間の線間電圧\( \ e_{\mathrm {uv}} \ \)には高調波が存在しないから
\[
\begin{eqnarray}
e_{\mathrm {uv}}&=&e_{\mathrm {u}}-e_{\mathrm {v}}&=&\sqrt {6}E_{1}\times \ \fbox { （３） } ・・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。②式が成立するには①式から
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty } \sqrt {2}E_{n}\left\{ \sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) -\sin \left[ n\left( \omega t-\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{n}\right] \right\}&=&0 ・・・ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成り立つ必要がある。③式について次の\( \ \mathrm {a} \ \)．\( \ \mathrm {b} \ \)．\( \ \mathrm {c} \ \)．の高調波成分に分けて考える。
a.\( \ n= \ \fbox { （４） } \ \)(\( \ \lambda \ \)は正の奇数)の高調波の場合
\[
\begin{eqnarray}
\sqrt {2}E_{n}\left[ \sin \left( n\omega t +\phi _{n}\right) -\sin \left( n\omega t +\phi _{n}\right) \right] &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ \left[ \ \right] \ \)内が零となるから，\( \ E_{n} \ \)は零である必要はない。
b.\( \ n= \ \fbox { （４） } \ \)+1(\( \ \lambda \ \)は正の偶数)の高調波の場合
\[
\begin{eqnarray}
\sqrt {2}E_{n}\left[ \sin \left( n\omega t +\phi _{n}\right) -\sin \left( n\omega t -\frac {2\pi }{3}+\phi _{n}\right) \right] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ \left[ \ \right] \ \)内は零とならない。したがって，上式が零となるためには，\( \ E_{n}=0 \ \)が必要である。
c.\( \ n= \ \fbox { （４） } \ \)+2(\( \ \lambda \ \)は正の奇数)の高調波の場合
この場合もb.と同様に\( \ E_{n}=0 \ \)となる必要がある。
このように，①式の誘導起電力には基本波のほかにa.の場合である多くの高調波，具体的には\( \ \fbox { （５） } \ \)次の高調波が含まれる可能性があり，実際にこのような高調波が観測されている。このため，中性点非接地の\( \ \mathrm {Y}-\mathrm {Y} \ \)結線が使われるケースは少ない。
〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \sin \left( \omega t+\phi _{1}-\frac {\pi }{3}\right) &（ロ）& 3，9，15，\cdots &（ハ）& \sin \left( \omega t+\phi _{1}-\frac {\pi }{6}\right) \\[ 5pt ]
&（ニ）& 5 \lambda &（ホ）& 逆相となる &（ヘ）& 平衡している \\[ 5pt ]
&（ト）& 3 \lambda &（チ）& 7 &（リ）& 同相となる \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 7 \lambda &（ル）& 5，11，17，\cdots &（ヲ）& 5 \\[ 5pt ]
&（ワ）& \sin \left( \omega t+\phi _{1}+\frac {\pi }{6}\right) &（カ）& 3 &（ヨ）& 7，13，19，\cdots \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
\( \ \mathrm {Y-Y} \ \)結線の高調波に関する問題です。
受験生にその場で考えさせ，ややテクニックを必要とする計算問題を出題しているところが\( \ 1 \ \)種らしい問題と言えます。\( \ 1 \ \)種受験生レベルになるとこれぐらいの計算問題はスラスラとできる人も多いと思います。
本番までに計算力を磨くようにしましょう。
1.三角関数の和積の公式
三角関数の加法定理は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \left( \alpha + \beta \right) &=&\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &・・・・①& \\[ 5pt ]
\sin \left( \alpha – \beta \right) &=&\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta &・・・・②& \\[ 5pt ]
\cos \left( \alpha + \beta \right) &=&\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &・・・・③& \\[ 5pt ]
\cos \left( \alpha – \beta \right) &=&\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta &・・・・④& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，\(①+②\)より，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \left( \alpha + \beta \right) +\sin \left( \alpha – \beta \right) &=&2\sin \alpha \cos \beta &・・・・⑤& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(①-②\)より，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \left( \alpha + \beta \right) -\sin \left( \alpha – \beta \right) &=&2\cos \alpha \sin \beta &・・・・⑥& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(③+④\)より，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \left( \alpha + \beta \right) +\cos \left( \alpha – \beta \right) &=&2\cos \alpha \cos \beta &・・・・⑦& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\(③-④\)より，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \left( \alpha + \beta \right) -\cos \left( \alpha – \beta \right) &=&-2\sin \alpha \sin \beta &・・・・⑧& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。\( \ \alpha + \beta =A \ \)，\( \ \alpha – \beta =B \ \)とすると，\( \ \displaystyle \alpha =\frac {A+B}{2} \ \)，\( \ \displaystyle \beta =\frac {A-B}{2} \ \)であるから，\( \ ⑤～⑧ \ \)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\sin A +\sin B &=&2\sin \frac {A+B}{2} \cos \frac {A-B}{2} \\[ 5pt ]
\sin A -\sin B &=&2\cos \frac {A+B}{2} \sin \frac {A-B}{2} \\[ 5pt ]
\cos A +\cos B &=&2\cos \frac {A+B}{2} \cos \frac {A-B}{2} \\[ 5pt ]
\cos A -\cos B &=&-2\sin \frac {A+B}{2} \sin \frac {A-B}{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と和積の公式が求められます。
【解答】
(1)解答：カ
三相が平衡しているとし，\( \ \mathrm {u} \ \)相の励磁電流を\( \ I_{\mathrm {u3}} \ \)，\( \ \mathrm {v} \ \)相の励磁電流を\( \ I_{\mathrm {v3}} \ \)，\( \ \mathrm {w} \ \)相の励磁電流を\( \ I_{\mathrm {w3}} \ \)とすると，①のように電流もおくことができるので，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {u3}} &=&I_{\mathrm {3}}\sin \left( 3\omega t+\phi _{3}\right) \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {v3}} &=&I_{\mathrm {3}}\sin \left[ 3\left( \omega t-\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{3}\right] \\[ 5pt ]
&=&I_{\mathrm {3}}\sin \left( 3\omega t-2\pi +\phi _{3}\right) \\[ 5pt ]
&=&I_{\mathrm {3}}\sin \left( 3\omega t +\phi _{3}\right) \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {w3}} &=&I_{\mathrm {3}}\sin \left[ 3\left( \omega t+\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{3}\right] \\[ 5pt ]
&=&I_{\mathrm {3}}\sin \left( 3\omega t+2\pi +\phi _{3}\right) \\[ 5pt ]
&=&I_{\mathrm {3}}\sin \left( 3\omega t +\phi _{3}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ I_{\mathrm {u3}}=I_{\mathrm {v3}}=I_{\mathrm {w3}} \ \)となる。
\( \ 3 \ \)の倍数次の高調波に関しては全て同様の式が成り立つ。
(2)解答：リ
(1)の通り，\( \ 3 \ \)の倍数次の高調波は同相となるので，零でなければならない。
(3)解答：ワ
題意より，\( \ \mathrm {u} \ \)，\( \ \mathrm {v} \ \)間の線間電圧\( \ e_{\mathrm {uv}} \ \)には高調波が存在しないので，①に\( \ n=1 \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
e_{\mathrm {uv}}&=&e_{\mathrm {u}}-e_{\mathrm {v}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}E_{1}\sin \left( \omega t+\phi _{1}\right)-\sqrt {2}E_{1}\sin \left[ \left( \omega t-\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{1}\right] \\[ 5pt ]
&=&2\sqrt {2}E_{1}\left\{ \cos \left( \omega t-\frac {\pi }{3}+\phi _{1}\right) \sin \frac {\pi }{3} \right\} \left( ∵和積の公式\right) \\[ 5pt ]
&=&2\sqrt {2}E_{1}\left\{ \cos \left( \omega t-\frac {\pi }{3}+\phi _{1}\right) \times \frac {\sqrt {3}}{2} \right\} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}E_{1} \cos \left( \omega t-\frac {\pi }{3}+\phi _{1}\right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}E_{1} \sin \left( \omega t+\phi _{1}+\frac {\pi }{6}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
※ \( \ \displaystyle \cos \theta =\sin \left( \theta + \frac {\pi }{2}\right) \ \)は理解しておきましょう。例：\( \ \displaystyle \cos 0 = \sin \frac {\pi }{2} \ \)
(4)解答：ト
③式は，任意の\( \ n \ \)について，
\[
\begin{eqnarray}
\sqrt {2}E_{n}\left\{ \sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) -\sin \left[ n\left( \omega t-\frac {2\pi }{3}\right) +\phi _{n}\right] \right\} &=&0 \\[ 5pt ]
\sqrt {2}E_{n}\left\{ \sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) -\sin \left( n\omega t-\frac {2\pi }{3}n +\phi _{n}\right) \right\} &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変形できる。したがって，\( \ n=3\lambda \ \)のとき，上式は，
\[
\begin{eqnarray}
\sqrt {2}E_{n}\left\{ \sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) -\sin \left( n\omega t-\frac {2\pi }{3}\times 3\lambda +\phi _{n}\right) \right\} &=&0 \\[ 5pt ]
\sqrt {2}E_{n}\left\{ \sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) -\sin \left( n\omega t-2\pi \lambda +\phi _{n}\right) \right\} &=&0 \\[ 5pt ]
\sqrt {2}E_{n}\left\{ \sin \left( n\omega t+\phi _{n}\right) -\sin \left( n\omega t +\phi _{n}\right) \right\} &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ E_{n} \ \)は零である必要がない。b.及びc.も同様に考えればよい。
(5)解答：ロ
\( \ n=3\lambda \ \)(\( \ \lambda \ \)は正の奇数)のとき，\( \ n \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
n &=&3，9，15，\cdots \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，題意よりこれらの高調波が含まれる可能性があることがわかる。
愛知県出身 愛称たけちゃん