《機械》〈照明〉[H28:問6] 机上面の平均照度と照明率に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，机上面の平均照度と照明率の算出に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図に示すように$ \ 1 \ $辺$ \ \mathrm {1.26 \ m} \ $の正方形の机があり，その中央上の高さ$ \ \mathrm {0.84 \ m} \ $に点光源が1灯設置されている。点光源の光度は，全ての方向に$ \ \mathrm {70 \ cd} \ $である。

この条件において，以下の手順で机上面の平均照度及び照明率の算出を行う。

a　机上面中央$ \ \mathrm {A} \ $点の水平面照度を求めると$ \ \fbox {　（１）　} \ $$\mathrm {lx} \ $になる。

b　机上面サイドライン中央$ \ \mathrm {B} \ $点の水平面照度を求めると$ \ \fbox {　（２）　} \ $$\mathrm {lx} \ $になる。

c　机上面の平均照度を$ \ 5 \ $点法で求めると$ \ \fbox {　（３）　} \ $$\mathrm {lx} \ $になる。

d　点光源の全光束を計算すると$ \ \fbox {　（４）　} \ $$\mathrm {lm} \ $が求まる。

e　点光源の机上面に対する照明率は，全光束と平均照度とから$ \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　0.11　　　　　&（ロ）&　0.12　　　　　&（ハ）&　0.14 \\[ 5pt ] &（ニ）&　51　　　　　&（ホ）&　60　　　　　&（ヘ）&　63 \\[ 5pt ] &（ト）&　67　　　　　&（チ）&　70　　　　　&（リ）&　75 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　79　　　　　&（ル）&　83　　　　　&（ヲ）&　99 \\[ 5pt ] &（ワ）&　220　　　　　&（カ）&　440　　　　　&（ヨ）&　880 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

照明の勉強をしていて，公式を理解していれば確実に解ける問題ですが，１問間違えると後半の問題も間違えてしまうため，受験生の点数差をつける非常に厳しい問題とも言えます。(3)の$ \ 5 \ $点法がカギとなりそうです。

1.逆$ \ 2 \ $乗の法則
照度$ \ E \ $と光度$ \ I \ $と光源からの距離$ \ l \ $の間に，
\[
E=\frac {I}{l^{2}}
\] が成立するという法則です。

2.水平面照度
図1における$ \ E_{\mathrm {n}} \ $を法線照度，$ \ E_{\mathrm {h}} \ $を水平面照度と言い，以下のような関係があります。
\[
E_{\mathrm {n}}=\frac {I_{\theta }}{l^{2}}
\] \[
E_{\mathrm {h}}=E_{\mathrm {\mathrm {n}}}\cos\theta =\frac {I_{\theta }\cos\theta }{l^{2}}
\]

3.$ \ 5 \ $点法
問題の$ \ \mathrm {A} \ $点の水平面照度を$ \ E_\mathrm {A} \ $，$ \ \mathrm {B} \ $点の水平面照度を$ \ E_\mathrm {B} \ $とした時，机上面の平均照度$ \ E_\mathrm {av} \ $は，
\[
E_\mathrm {av}=\frac {1}{6}\left( 2E_\mathrm {A}+4E_\mathrm {B}\right)
\] で求められます。

【解答】

(1)解答：ヲ
ワンポイント解説「1.逆$ \ 2 \ $乗の法則」より，$ \ \mathrm {A} \ $点の水平面照度$ \ E_\mathrm {A} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_\mathrm {A}&=&\frac {70}{0.84^{2}} \\[ 5pt ] &≒&99.21　→　99 \ [ \mathrm {lx} ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ニ
点光源から$ \ \mathrm {B} \ $点までの距離$ \ l \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
l&=&\sqrt {0.84^{2}+0.63^{2}} \\[ 5pt ] &=&1.05 \ [ \mathrm {m} ] \end{eqnarray}
\] であるから，ワンポイント解説「2.水平面照度」より，$ \ \mathrm {B} \ $点の水平面照度$ \ E_\mathrm {B} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_\mathrm {B}&=&\frac {70\times \frac {0.84}{1.05}}{1.05^{2}} \\[ 5pt ] &≒&50.79　→　51 \ [ \mathrm {lx} ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ト
ワンポイント解説「3.$ \ 5 \ $点法」より机上面の平均照度$ \ E_\mathrm {av} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{6}\left( 2E_{\mathrm {A}}+4E_{\mathrm {B}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{6}\times \left( 2\times 99.21+4\times 50.79\right) \\[ 5pt ] &=&66.93　→　67 \ [ \mathrm {lx} ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヨ
球の立体角は$ \ 4\pi \ $であるから，全光束$ \ F \ $は
\[
\begin{eqnarray}
F&=&4\pi \times 70 \\[ 5pt ] &≒&879.6　→　880 \ [ \mathrm {lm} ] \end{eqnarray}
\] と求められる。　

(5)解答：ロ
(3)の平均照度から机上面に到達する光束量$ \ F_{\mathrm {T}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {T}}&=&E_\mathrm {av}\times 1.26^{2} \\[ 5pt ] &=&66.93\times 1.26^{2} \\[ 5pt ] &≒&106.3 \ [ \mathrm {lm} ] \end{eqnarray}
\] となるので照明率$ \ U \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
U&=&\frac {F_{\mathrm {T}}}{F} \\[ 5pt ] &=&\frac {106.3}{879.6} \\[ 5pt ] &≒&0.12
\end{eqnarray}
\] と求められる。