《電力・管理》〈水力〉[H27:問1] 水力発電所の諸容量に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
- 2.1 【関連する「電気の神髄」記事】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

ランナの直径\(D_{1}\)が\(0.4 \ \mathrm {m}\)のフランシス水車で，有効落差\(H_{1}\)が\(1 \ \mathrm {m}\)のとき，水車出力\(P_{1}\)が\(1 \ \mathrm {kW}\)，使用水量\(Q_{1}\)が\(0.121 \ \mathrm {m^{3} / s}\)，回転数\(N_{1}\)が\(149.5 \ \mathrm {rpm}\)のモデル水車(以下水車\(\mathrm {A}\)と呼ぶ。)がある。

この水車\(\mathrm {A}\)と相似な水車(以下水車\(\mathrm {B}\)と呼ぶ。)を，有効落差\(H_{2}\)が\(121 \ \mathrm {m}\)，使用水量\(Q_{2}\)が\(10 \ \mathrm {m^{3} / s}\)の条件の場所に設置したい。次の問に答えよ。

ただし，水車効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は水車\(\mathrm {A}\)，水車\(\mathrm {B}\)で同一とし，水車\(\mathrm {B}\)のランナの直径を\(D_{2} \ \mathrm {[m]}\)，相似比を\(k\)\(\displaystyle \left( k=\frac {D_{2}}{D_{1}}\right) \)とする。また，重力加速度\(g\)は\(9.8 \ \mathrm {m / s^{2}}\)，水の密度\(\rho \)は\(1000 \ \mathrm {kg / m^{3}}\)とする。

(1)　水車\(\mathrm {B}\)の出力\(P_{2} \ \mathrm {[kW]}\)を求めよ。

(2)　水車\(\mathrm {B}\)の使用水量\(Q_{2} \ \mathrm {[m^{3} / s]}\)を\(Q_{1}\)，\(H_{1}\)，\(H_{2}\)及び\(k\)を用いて表せ。

(3)　水車\(\mathrm {B}\)の出力\(P_{2} \ \mathrm {[kW]}\)を\(P_{1}\)，\(H_{1}\)，\(H_{2}\)及び\(k\)を用いて表せ。

(4)　水車\(\mathrm {B}\)のランナ直径\(D_{2} \ \mathrm {[m]}\)を求めよ。

(5)　水車\(\mathrm {B}\)の回転数\(N_{2} \ \mathrm {[rpm]}\)を\(N_{1}\)，\(H_{1}\)，\(H_{2}\)，\(P_{1}\)及び\(P_{2}\)を用いて表し，その値を求めよ。

【ワンポイント解説】

水車の理論出力に関する問題です。以下の公式は非常に重要な公式となりますので，この問題で理解しておきましょう。

1.流量\(Q\)と断面積\(A\)，流速\(v\)の関係
流量が\(Q\)，断面積が\(A\)，流速が\(v\)であるとき，
\[
Q=Av
\] の関係があります。

2.流速\(v\)と有効落差\(h\)の関係
物体の質量が\( \ m \ \)，有効落差\(h\)である時の位置エネルギー\(U\)は，
\[
U=mgh
\] であり，流速\(v\)であるとすると，運動エネルギー\(E\)は，
\[
E=\frac {1}{2}mv^{2}
\] となります。従って，位置エネルギーが運動エネルギーにすべて変換されるとすると，
\[
\begin{eqnarray}
mgh &=& \frac {1}{2}mv^{2} \\[ 5pt ] v&=& \sqrt {2gh} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，流速\(v\)と有効落差\(h\)の\(\displaystyle \frac {1}{2}\)乗に比例することが分かります。

3.水車の理論出力\(P\)
流量が\(Q \ \mathrm {[m^{3} / s]}\)，有効落差が\(H \ \mathrm {[m]}\)，水の密度が\(\rho =1000 \ \mathrm {[kg / m^{3}]}\)，重力加速度が\(g=9.8 \ \mathrm {[m / s^{2}]}\)，水車・発電機の総合効率を\(\eta \)であるとすると，水車の理論出力\(P\)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=& \rho gQH\eta \\[ 5pt ] &=& 9.8QH\eta \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

【関連する「電気の神髄」記事】

　　水力発電の計算における基本式

【解答】

(1)水車\(\mathrm {B}\)の出力\(P_{2} \ \mathrm {[kW]}\)
ワンポイント解説「3.水車の理論出力\(P\)」より，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1} &=& 9.8Q_{1}H_{1}\eta \\[ 5pt ] 1&=& 9.8\times 0.121 \times 1 \times \eta \\[ 5pt ] \eta &=& \frac {1}{9.8\times 0.121} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，題意より水車効率\(\mathrm {[％]}\)は水車\(\mathrm {A}\)，水車\(\mathrm {B}\)で等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=& 9.8Q_{2}H_{2}\eta \\[ 5pt ] &=& 9.8\times 10 \times 121 \times \frac {1}{9.8\times 0.121} \\[ 5pt ] &=& 10000 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)水車\(\mathrm {B}\)の使用水量\(Q_{2} \ \mathrm {[m^{3} / s]}\)
ワンポイント解説「1.流量\(Q\)と断面積\(A\)，流速\(v\)の関係」より，水車\(\mathrm {A}\)の入口の断面積\(A_{1}\)，水車\(\mathrm {B}\)の入口の断面積\(A_{2}\)とすると，
\[
\frac {Q_{2}}{Q_{1}}=\frac {A_{2}v_{2}}{A_{1}v_{1}}
\] となる。ここで，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {A_{2}}{A_{1}} &=& \frac {\pi \left( \frac {D_{2}}{2}\right) ^{2}}{\pi \left( \frac {D_{1}}{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {D_{2}}{D_{1}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，ワンポイント解説「2.流速\(v\)と有効落差\(h\)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}} &=& \frac {\sqrt {2gH_{2}}}{\sqrt {2gH_{1}}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {1}{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Q_{2}}{Q_{1}} &=& \frac {A_{2}v_{2}}{A_{1}v_{1}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {D_{2}}{D_{1}}\right) ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {1}{2}}\\[ 5pt ] &=& k ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {1}{2}}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，
\[
Q_{2}= k ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {1}{2}}Q_{1}
\] と求められる。

(3)水車\(\mathrm {B}\)の出力\(P_{2} \ \mathrm {[kW]}\)
(1)，(2)より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{2}}{P_{1}} &=& \frac {9.8Q_{2}H_{2}\eta }{9.8Q_{1}H_{1}\eta } \\[ 5pt ] &=& \frac {Q_{2}H_{2}}{Q_{1}H_{1} }\\[ 5pt ] &=& k ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {1}{2}} \frac {H_{2}}{H_{1}}\\[ 5pt ] &=& k ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，
\[
P_{2}=k ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {3}{2}}P_{1}
\] と求められる。

(4)水車\(\mathrm {B}\)のランナ直径\(D_{2} \ \mathrm {[m]}\)
(3)の解答式を整理して，各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{2}}{P_{1}} &=& k ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {D_{2}}{D_{1}}\right) ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] \frac {10000}{1}&=& \left( \frac {D_{2}}{0.4}\right) ^{2}\left( \frac {121}{1}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] 10000&=& \frac {D_{2}^{2}}{0.16}\times 1331 \\[ 5pt ] D_{2}&=& 1.0964　→　1.10 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)水車\(\mathrm {B}\)の回転数\(N_{2} \ \mathrm {[rpm]}\)
回転数と流速の関係を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}} &=& \frac {\pi D_{2}N_{2}}{\pi D_{1}N_{1}} \\[ 5pt ] &=& \frac {D_{2}N_{2}}{D_{1}N_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{2}}{P_{1}} &=& \left( \frac {D_{2}}{D_{1}}\right) ^{2} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] \left( \frac {D_{2}}{D_{1}}\right) ^{2}&=& \frac {P_{2}}{P_{1}}\left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{-\frac {3}{2}} \\[ 5pt ] \frac {D_{2}}{D_{1}}&=& \sqrt {\frac {P_{2}}{P_{1}}\left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{-\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}} &=& \frac {D_{2}N_{2}}{D_{1}N_{1}} \\[ 5pt ] \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {1}{2}}&=& \sqrt {\frac {P_{2}}{P_{1}}\left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{-\frac {3}{2}}}\frac {N_{2}}{N_{1}} \\[ 5pt ] N_{2}&=& N_{1}\left( \frac {P_{1}}{P_{2}}\right) ^{\frac {1}{2}} \left( \frac {H_{2}}{H_{1}}\right) ^{\frac {5}{4}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
N_{2}&=& 149.5\times \left( \frac {1}{10000}\right) ^{\frac {1}{2}} \left( \frac {121}{1}\right) ^{\frac {5}{4}} \\[ 5pt ] &=& 149.5\times \frac {1}{100} \times 401.31 \\[ 5pt ] &≒& 599.95　→　600 \ \mathrm {[rpm]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。