《電力・管理》〈送電〉[H26:問3] 送電線の1線断線事故に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図1は1回線送電線を介して同期発電機,昇圧変圧器から三相平衡負荷へ送電している状況を示す。1線断線事故に関して,次の問に答えよ。ただし,送電線の作用静電容量は無視できるものとし,数値は全て\(100 \ \mathrm {MV\cdot A}\)基準の単位法で表現するものとする。

(1) 図1の送電線の送電端(昇圧変圧器高圧側母線\(\mathrm {S}\))近傍で1線断線が発生した回路の対称分等価回路を導出するために,図2のように元の系統を断線事故発生地点で二分割する。1線断線が発生したとき,図2の\({\dot I}_{\mathrm {1a}}\),\({\dot I}_{\mathrm {1b}}\),\({\dot I}_{\mathrm {1c}}\),\({\dot I}_{\mathrm {2a}}\),\({\dot I}_{\mathrm {2b}}\),\({\dot I}_{\mathrm {2c}}\),\({\dot V}_{\mathrm {1a}}\),\({\dot V}_{\mathrm {1b}}\),\({\dot V}_{\mathrm {1c}}\),\({\dot V}_{\mathrm {2a}}\),\({\dot V}_{\mathrm {2b}}\),\({\dot V}_{\mathrm {2c}}\)の間に成立する関係式(1線断線条件)を示せ。ただし,断線事故が発生した相を\(\mathrm {a}\)相とすること。

(2) 上記(1)で得られた関係式を対称座標変換すると1線断線条件が得られる。これを表現する図3の対称分等価回路の各\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に入るべき数値をそれぞれ答えよ。ただし,同じ文字をもつ\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)には同じ数値が入る。負荷を除く各回路要素のインピーダンスは全て\([\mathrm {p.u.}]\)で表現すること。

(3) 事故発生前の送電端(母線\(\mathrm {S}\))電圧を\(1.0 \ \mathrm {p.u.}\),ここからの送電電力を\(90 \ \mathrm {MW} +j10 \ \mathrm {Mvar}\)とする。以下の各問に答えよ。

a.事故発生前の発電機内部電圧(正相リアクタンス背後電圧)の大きさを計算せよ。

b.1線断線事故直後には発電機内部電圧(正相リアクタンス背後電圧)が変化しないものとして,事故発生直後の系統状態を図4で表現したときの電流\({\dot I}_{\mathrm {p}}\)を計算せよ。ただし,発電機内部電圧の位相を基準にすること。

c.1線断線直後の母線\(\mathrm {S}\)の事故相電圧の大きさを計算せよ。




【ワンポイント解説】

対称座標法による故障計算の問題です。対称座標法を用いた方法はパターン化されているため,慣れてしまうと取り組みやすい問題となりますが,計算がどうしても複雑になる傾向があるため,試験本番で選択するかどうかよく判断する必要があります。

1.対称座標法
故障計算をする際に,非常に便利な方法で,以下のように定義されます。
零相電圧\({\dot V}_{0}\),正相電圧\({\dot V}_{1}\),逆相電圧\({\dot V}_{2}\)とすると,各相の電圧\({\dot V}_{\mathrm {a}}\),\({\dot V}_{\mathrm {b}}\),\({\dot V}_{\mathrm {c}}\)は以下のように表せます。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {a}} &=&{\dot V}_{0}+ {\dot V}_{1} + {\dot V}_{2} \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {b}} &=&{\dot V}_{0}+ a^{2}{\dot V}_{1} + a{\dot V}_{2} \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {c}} &=&{\dot V}_{0}+ a{\dot V}_{1} + a^{2}{\dot V}_{2}
\end{eqnarray}
\] 零相電流\({\dot I}_{0}\),正相電流\({\dot I}_{1}\),逆相電流\({\dot I}_{2}\)とすると,各相の電流\({\dot I}_{\mathrm {a}}\),\({\dot I}_{\mathrm {b}}\),\({\dot I}_{\mathrm {c}}\)は電圧同様に以下のように表せます。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=&{\dot I}_{0}+ {\dot I}_{1} + {\dot I}_{2} \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {b}} &=&{\dot I}_{0}+ a^{2}{\dot I}_{1} + a{\dot I}_{2} \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {c}} &=&{\dot I}_{0}+ a{\dot I}_{1} + a^{2}{\dot I}_{2}
\end{eqnarray}
\] また,対称座標法における発電機の基本式は以下の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{0} &=&-Z_{0}{\dot I}_{0} \\[ 5pt ] {\dot V}_{1} &=&{\dot E}_{\mathrm {a}}-Z_{1}{\dot I}_{1} \\[ 5pt ] {\dot V}_{2} &=&-Z_{2}{\dot I}_{2}
\end{eqnarray}
\]

【関連する「電気の神髄」記事】

  対称座標法変換の基本式
  対称座標法における発電機の基本式

【解答】

(1)各電圧-電流間に成立する関係式(1線断線条件)
図2より各相の電圧及び電流に成立する関係式は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {1a}} &=&{\dot I}_{\mathrm {2a}}=0 \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {1b}} &=&{\dot I}_{\mathrm {2b}} \\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {1c}} &=&{\dot I}_{\mathrm {2c}} \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {1b}} &=&{\dot V}_{\mathrm {2b}} \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {1c}} &=&{\dot V}_{\mathrm {2c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)対称分等価回路の各\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に入るべき数値
題意で与えられた条件より,\(\mathrm {a}~\mathrm {g}\)に入る数値は,
\[
\begin{eqnarray}
a &=&j1.2 \\[ 5pt ] b &=&j0.2 \\[ 5pt ] c &=&j0.1 \\[ 5pt ] d &=&j0.2 \\[ 5pt ] e &=&j0.1 \\[ 5pt ] f &=&j0.25 \\[ 5pt ] g &=&j0.2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)a.事故発生前の発電機内部電圧(正相リアクタンス背後電圧)の大きさ
事故発生前の等価回路は図5のようになる。
送電電力\(P+jQ\)から,\(100 \ \mathrm {MV\cdot A}\)基準の単位法で表すと,
\[
\begin{eqnarray}
P+jQ &=&\frac {90}{100}+j\frac {10}{100} \\[ 5pt ] &=&0.9+j0.1 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,事故発生前電流\({\dot I}_{\mathrm {a}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=&\frac {\overline {P+jQ}}{\overline {{\dot V}_{\mathrm {s}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.9-j0.1}{1} \\[ 5pt ] &=&0.9-j0.1 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。以上と図3より発電機内部電圧\(E_{\mathrm {a}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {a}} &=&{\dot V}_{\mathrm {1p}}+jX_{\mathrm {1p}}{\dot I}_{\mathrm {p}} \\[ 5pt ] &=&1+j1.4\times \left( 0.9-j0.1 \right) \\[ 5pt ] &=&1.14+j1.26 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となりその大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
\left| {\dot E}_{\mathrm {a}}\right| &=&\sqrt {1.14^{2}+1.26^{2}} \\[ 5pt ] &=&1.6992 → 1.70 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)b.事故発生直後の正相電流\({\dot I}_{\mathrm {p}}\)
図5より,事故発生前の送電線からみた負荷側のインピーダンスは,負荷のインピーダンスを\(Z_{\mathrm {L}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {s}} &=&\left( j0.1 +j0.2 +Z_{\mathrm {L}}\right) {\dot I}_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] 1 &=&\left( j0.1 +j0.2 +Z_{\mathrm {L}}\right) \times \left( 0.9-j0.1 \right) \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {L}}&=&\frac {1}{0.9-j0.1}-j0.3 \\[ 5pt ] &=&\frac {0.9+j0.1}{0.81+0.01}-j0.3 \\[ 5pt ] &=&1.0976 -j0.17805 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,図4の等価回路の各値は図4-1のようになる。図4-1より,正相電流\({\dot I}_{\mathrm {p}}\)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {p}} &=&\frac {1.6992}{j1.4+j0.3+\frac {j0.65\times \left( j0.7+1.0976 -j0.17805\right) }{j0.65+ \left( j0.7+1.0976 -j0.17805\right) }+1.0976-j0.17805} \\[ 5pt ] &≒&\frac {1.6992}{1.0976+j1.5220+\frac {-0.33927+j0.71344 }{1.0976+j1.1720 }} \\[ 5pt ] &≒&\frac {1.6992}{1.0976+j1.5220+\frac {-0.37238+j0.78307+0.83615+j0.39762 }{1.2047+1.3736 }} \\[ 5pt ] &≒&\frac {1.6992}{1.2775+j1.9799} \\[ 5pt ] &≒&\frac {2.1707-j3.3642}{1.6320+3.9200} \\[ 5pt ] &≒&0.39098 -j0.60594 → 0.391 -j0.606\ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)c.1線断線直後の母線\(\mathrm {S}\)の事故相電圧の大きさ
図4-1より,逆相電流\({\dot I}_{\mathrm {n}}\)及び零相電流\({\dot I}_{\mathrm {z}}\)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {n}} &=&\frac {j0.65}{j0.65+ \left( j0.7+1.0976 -j0.17805\right) }\times -{\dot I}_{\mathrm {p}} \\[ 5pt ] &=&\frac {j0.65}{1.0976+j1.1720 }\times -\left( 0.39098 -j0.60594\right) \\[ 5pt ] &≒&\frac {-0.39386-j0.25414}{2.5783}\times \left( 1.0976 -j1.1720\right) \\[ 5pt ] &≒&-0.28319+j0.070845 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {z}} &=&\frac {j0.7+1.0976 -j0.17805}{j0.65+ \left( j0.7+1.0976 -j0.17805\right) }\times -{\dot I}_{\mathrm {p}} \\[ 5pt ] &=&\frac {j0.7+1.0976 -j0.17805}{1.0976+j1.1720 }\times -\left( 0.39098 -j0.60594\right) \\[ 5pt ] &≒&\frac {-0.74541+j0.46101}{2.5783}\times \left( 1.0976 -j1.1720\right) \\[ 5pt ] &≒&-0.10777+j0.53509 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。図3及びワンポイント解説「1.対称座標法」より,事故相電圧\({\dot V}_{\mathrm {1a}}\)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {1a}} &=&{\dot V}_{\mathrm {1p}}+{\dot V}_{\mathrm {1n}}+{\dot V}_{\mathrm {1z}} \\[ 5pt ] &=&{\dot E}_{\mathrm {a}}-j1.4{\dot I}_{\mathrm {p}}-j0.4{\dot I}_{\mathrm {n}}-j0.2{\dot I}_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ] &=&1.6992-j1.4\times \left( 0.39098 -j0.60594\right) -j0.4\times \left( -0.28319+j0.070845\right) -j0.2\times \left( -0.10777+j0.53509\right) \\[ 5pt ] &≒&0.98624-j0.41254 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\left| {\dot V}_{\mathrm {1a}}\right| &=&\sqrt {0.98624^{2}+0.41254^{2}} \\[ 5pt ] &≒&1.0690 → 1.07 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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