《機械》〈回転機〉[H29:問5] かご形三相誘導電動機の電気的制動法に関する空欄穴埋問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【用語の解説】
- 3.1 【関連する「電気の神髄」記事】
4 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，かご形三相誘導電動機の電気的制御法に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

かご形三相誘導電動機の逆相制動は，運転中に一次巻線の三端子のうち二端子の接続を電源に対して入れ替えて，$ \ \fbox {　（１）　} \ $の方向を逆にして制動する方法である。この場合，滑り$ \ s \ $の動作領域は$ \ \fbox {　（２）　} \ $である。この方法はプラッギングともいい，低速時にも大きな制動トルクが発生し，急速に停止ができる。逆相制動時，正方向に同期速度付近で運転している状態から停止に至るまでの間に回転子に生じるエネルギー損失は，負荷トルク及び機械損を無視し回転子と負荷の合成慣性モーメントだけを考えた場合，始動の過程で回転子に生じるエネルギー損失の約$ \ \fbox {　（３）　} \ $倍となる。すなわち，始動時の約$ \ \fbox {　（３）　} \ $倍の熱量を発生するので，回転子の温度上昇が大きい。
回生制動は，電車などの運動体を駆動している場合，電源周波数を下げて電動機を発電状態にし，その発生電力を電源に送り返しながら制動する方法である。この場合，滑り$ \ s \ $の動作領域は$ \ \fbox {　（４）　} \ $である。回転子の回転速度が$ \ \fbox {　（５）　} \ $以上の場合，二次入力が負となり，電力は二次側から一次側に与えられ，電動機は発電機として動作する。この場合，回転子及び負荷の$ \ \fbox {　（６）　} \ $を吸収して交流電源に電力を送り返すので，損失の少ない制動が行われる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\sqrt{3}　　　　　&（ロ）&　固定磁界　　　　　&（ハ）&　同期速度 \\[ 5pt ] &（ニ）&　s\lt 0　　　　　&（ホ）&　0\lt s \lt 1　　　　　　&（ヘ）&　s\gt 1 \\[ 5pt ] &（ト）&　運動エネルギー　　　　　&（チ）&　2　　　　　&（リ）&　速度変動率 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　無拘束速度　　　　　&（ル）&　3　　　　　&（ヲ）&　無効電力 \\[ 5pt ] &（ワ）&　平等磁界　　　　　&（カ）&　回転磁界　　　　　&（ヨ）&　電磁エネルギー
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

かご形誘導電動機の特性に関する問題で，配点の高い本問は合否を分ける重要な問題と言えます。誘導機の加減速と滑りの関係は非常に重要な関係となっていますので，よく理解しておいて下さい。

1.滑り$ \ s \ $の定義
誘導機の回転速度を$ \ N \ $，同期速度を$ \ N_{\mathrm {s}} \ $とすると，滑り$ \ s \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，誘導機の角周波数を$ \ \omega \ $，同期角周波数を$ \ \omega _{\mathrm {s}} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
&\omega& &=& \frac {2\pi N}{60} \\[ 5pt ] &\omega _{\mathrm {s}}& &=& \frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，滑り$ \ s \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {\omega _{\mathrm {s}}-\omega }{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と表すこともできます。

2.誘導機の加減速と滑りの関係
①$ \ s ＜ 0 \ $の時
$ \ N_{\mathrm {s}}-N ＜ 0 \ $すなわち回転速度が同期速度より早い状態となるため，誘導機は誘導発電機(回生制動)として動作します。

②$ \ 0＜ s ＜ 1 \ $の時
$ \ N_{\mathrm {s}}-N ＞ 0 \ $すなわち回転速度が同期速度より遅い状態となるため，誘導機は誘導電動機として動作します。

③$ \ s ＞ 1 \ $の時
回転速度がマイナスの状態となるため，誘導機には急ブレーキがかかります。

【用語の解説】

（リ）速度変動率
無負荷時の回転速度$ \ N_{0} \ $，定格負荷時の回転速度を$ \ N_{\mathrm {n}} \ $とした時，$ \ \displaystyle \frac {N_{0}-N_{\mathrm {n}}}{N_{\mathrm {n}}}\times 100 [％] \ $と定義されます。
（ヌ）無拘束速度
負荷遮断され無負荷となった時に到達する最大回転速度。水力発電で出題されることがあります。

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【解答】

(1)解答：カ
(2)解答：ヘ
逆相制動は回転磁界を逆にして制動する方法で，ワンポイント解説「2.誘導機の加減速と滑りの関係」の通り，$ \ s \gt 1 \ $となります。

(3)解答：ル
題意より，求めるエネルギー損失$ \ w \ $は二次銅損$ \ P_{\mathrm {C2}} \ $のみを考慮すれば良いので，
\[
\begin{eqnarray}
w&=&\int P_{\mathrm {C2}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで，二次銅損$ \ P_{\mathrm {C2}} \ $は，二次入力$ \ P_{2} \ $，同期角周波数$ \ \omega _{\mathrm {s}} \ $，トルク$ \ T \ $で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {C2}} &=& sP_{2} \\[ 5pt ] &=& s\omega _{\mathrm {s}} T
\end{eqnarray}
\] となり，トルク$ \ T \ $は慣性モーメント$ \ J \ $と置くと，運動方程式$ \ \displaystyle T=J\frac {\mathrm {d}\omega }{\mathrm {d}t} \ $で表され，滑り$ \ s \ $は，$ \ \displaystyle s=\frac {\omega _{\mathrm {s}}-\omega }{\omega _{\mathrm {s}}} \ $で表すことができるので，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {C2}} &=& s\omega _{\mathrm {s}} T \\[ 5pt ] &=& \frac {\omega _{\mathrm {s}}-\omega }{\omega _{\mathrm {s}}}\cdot \omega _{\mathrm {s}}\cdot J\frac {\mathrm {d}\omega }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &=& J\left( \omega _{\mathrm {s}}-\omega \right) \frac {\mathrm {d}\omega }{\mathrm {d}t}
\end{eqnarray}
\] となり，エネルギー損失$ \ w \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
w &=& \int P_{\mathrm {C2}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=& \int J\left( \omega _{\mathrm {s}}-\omega \right) \frac {\mathrm {d}\omega }{\mathrm {d}t} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=& J\int \left( \omega _{\mathrm {s}}-\omega \right) \mathrm {d}\omega
\end{eqnarray}
\] となる。ここで，同期速度で減速を開始した時の角速度は$ \ -\omega _{\mathrm {s}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
w &=& J\int ^{0}_{-\omega _{\mathrm {s}}} \left( \omega _{\mathrm {s}}-\omega \right) \mathrm {d}\omega \\[ 5pt ] &=& J\left[ \omega _{\mathrm {s}}\omega -\frac {1}{2}\omega ^{2} \right] ^{0}_{-\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {3}{2}J{\omega _{\mathrm {s}}}^{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。一方始動時のエネルギー損失は，
\[
\begin{eqnarray}
w &=& J\int ^{\omega _{\mathrm {s}}}_{0} \left( \omega _{\mathrm {s}}-\omega \right) \mathrm {d}\omega \\[ 5pt ] &=& J\left[ \omega _{\mathrm {s}}\omega -\frac {1}{2}\omega ^{2} \right] ^{\omega _{\mathrm {s}}}_{0} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2}J{\omega _{\mathrm {s}}}^{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。よって，逆相制動での停止までのエネルギー損失は始動時の約$ \ 3 \ $倍となる。