【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
定格出力\( \ 30 \ \mathrm {[kW]} \ \)，定格電圧\( \ 440 \ \mathrm {[V]} \ \)，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ 4 \ \)極の三相巻線形誘導電動機がある。この電動機の一相当たりの簡易等価回路を図に示す。
図において，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次抵抗，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次リアクタンス，\( \ r_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次側に換算した二次抵抗，\( \ x_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次側に換算した二次リアクタンス，\( \ g_{0} \ \mathrm {[S]} \ \)は励磁コンダクタンス，\( \ b_{0} \ \mathrm {[S]} \ \)は励磁サセプタンス，\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次電圧，\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次負荷電流，\( \ I_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ s \ \)は滑りである。この電動機の一次抵抗が無視できるほど小さいとき\( \ \left( r_{1}=0 \right) \ \)，次の問に答えよ。
(1) 最大トルク\( \ T_{\mathrm {max}} \ \)を生じるときの滑り\( \ s_{m} \ \)を\( \ r_{2} \ \)，\( \ x_{1} \ \)及び\( \ x_{2} \ \)で表せ。
(2) 最大トルク\( \ T_{\mathrm {max}} \ \)と定格トルク\( \ T \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {T_{\mathrm {max}}}{T} \ \)を\( \ s_{m} \ \)及び定格トルク\( \ T \ \)を生じるときの滑りで表せ。
(3) この電動機のスリップリングを短絡して，定格電圧，定格周波数で運転すると，滑りが\( \ 18 \ \mathrm {[％]} \ \)のときトルクは最大となり，その大きさは定格トルクの\( \ 200 \ \mathrm {[％]} \ \)であった。この電動機の一次抵抗及び機械損失は無視できるものとして，次の値を求めよ。
\( \ \mathrm {a.} \ \) 定格出力時の滑り\( \ \mathrm {[％]} \ \)
\( \ \mathrm {b.} \ \) 定格出力時の回転速度\( \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)
【ワンポイント解説】
三相巻線形誘導電動機の最大トルクと滑りに関する問題です。
かなり取り組みやすい問題に分類されるかなと思います。多くの受験生が選択し，完答してくる問題と予想されますので，\( \ 30 \ \)分以内にミスなく完答できるように準備するようにして下さい。
1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min} ^{-1}]} \ \)，回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min} ^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と定義されるので，\( \ N \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
s N_{\mathrm {s}}&=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ]
N&=&\left( 1-s\right) N_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧（相電圧），\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることが分かります。
4.誘導電動機のトルク
図1より，三相誘導電動機のトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {2}}\left( 1-s\right) }{\omega _{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {2}}}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{\omega _{\mathrm {s}}}\frac {3V_{1}^{2}\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}}{\left( r_{1}+\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
(1)最大トルク\( \ T_{\mathrm {max}} \ \)を生じるときの滑り\( \ s_{m} \ \)
ワンポイント解説「4.誘導電動機のトルク」と同様に，\( \ r_{1}=0 \ \)のときの定格トルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T &=& \frac {1}{\omega _{s}}\frac {3V_{1}^{2}\displaystyle \frac {r_{2}}{s}}{\left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{\omega _{s}}\frac {3V_{1}^{2}r_{2}}{ \displaystyle \frac {{r_{2}}^{2}}{s}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}s} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，最大トルクとなるとき，上式の分母が最小となるので，\( \ \displaystyle A=\frac {{r_{2}}^{2}}{s}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}s \ \)とすれば，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}s} = -\frac {{r_{2}}^{2}}{s^{2}}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {{r_{2}}^{2}}{{s_{m}}^{2}}&=& \left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
{s_{m}}^{2}&=& \frac {{r_{2}}^{2}}{\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
s_{m}&=& \frac {r_{2}}{ x_{1}+x_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)最大トルク\( \ T_{\mathrm {max}} \ \)と定格トルク\( \ T \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {T_{\mathrm {max}}}{T} \ \)
最大トルク\( \ T_{\mathrm {max}} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)と定格トルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {T_{\mathrm {max}}}{T} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {T_{\mathrm {max}}}{T} &=& \frac {\displaystyle \frac {1}{\omega _{s}}\frac {3V_{1}^{2}\displaystyle \frac {r_{2}}{s_{m}}}{\left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s_{m}}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}}}{\displaystyle \frac {1}{\omega _{s}}\frac {3V_{1}^{2}\displaystyle \frac {r_{2}}{s}}{\left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {\displaystyle \frac {\displaystyle \frac {1}{s_{m}}}{\left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s_{m}}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}}}{\displaystyle \frac {\displaystyle \frac {1}{s}}{\left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {s\left\{ \left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2} \right\} }{s_{m}\left\{ \left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s_{m}}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}\right) ^{2} \right\} } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，(1)解答式より，\( \ \displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac {r_{2}}{s_{m}} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {T_{\mathrm {max}}}{T} &=& \frac {s\left\{ \left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s}\right) ^{2}+\displaystyle \left( \frac {r_{2}}{s_{m}}\right) ^{2} \right\} }{s_{m}\left\{ \left( \displaystyle \frac {r_{2}}{s_{m}}\right) ^{2}+\displaystyle \left( \frac {r_{2}}{s_{m}}\right) ^{2} \right\} } \\[ 5pt ]
&=& \frac {s{r_{2}}^{2}\left\{ \left( \displaystyle \frac {1}{s}\right) ^{2}+\displaystyle \left( \frac {1}{s_{m}}\right) ^{2} \right\} }{\displaystyle \frac {2{r_{2}}^{2}}{s_{m}} } \\[ 5pt ]
&=& \frac {ss_{m}\left( \displaystyle \frac {1}{s^{2}}+\displaystyle \frac {1}{{s_{m}}^{2}} \right) }{2} \\[ 5pt ]
&=& \frac {\displaystyle \frac {s_{m}}{s}+\frac {s}{s_{m}} }{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ \mathrm {a.} \ \)定格出力時の滑り\( \ \mathrm {[％]} \ \)
題意より，\( \ s_{m}=0.18 \ \)，\( \ \displaystyle \frac {T_{\mathrm {max}}}{T}=2 \ \)であるから，(2)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {T_{\mathrm {max}}}{T} &=& \frac {\displaystyle \frac {s_{m}}{s}+\frac {s}{s_{m}} }{2} \\[ 5pt ]
2 &=& \frac {\displaystyle \frac {0.18}{s}+\frac {s}{0.18} }{2} \\[ 5pt ]
\frac {0.18}{s}+\frac {s}{0.18} &=& 4 \\[ 5pt ]
0.0324+s^{2} &=& 0.72s \\[ 5pt ]
s^{2}-0.72s+0.0324&=&0 \\[ 5pt ]
s&=&0.36±\sqrt {0.36^{2}-0.0324} \\[ 5pt ]
&≒&0.0482 \ 31, 0.671 \ 77 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ s＜s_{m} \ \)より，\( \ s=0.0482 \ 31 → 4.82 \ \mathrm {[％]} \ \)と求められる。
(3)\( \ \mathrm {b.} \ \)定格出力時の回転速度\( \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)
三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{s} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，極数\( \ p=4 \ \)，電源の周波数\( \ f=60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)なので，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{s} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {120\times 60}{4} \\[ 5pt ]
&=&1 \ 800 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，定格出力時の回転速度\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N &=&N_{s}\left( 1-s \right) \\[ 5pt ]
&=&1 \ 800\times \left( 1-0.0482 \ 31 \right) \\[ 5pt ]
&≒&1 \ 710 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん