《機械・制御》〈自動制御〉[R02:問4]フィードバック制御におけるベクトル軌跡に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図1に示すフィードバック制御系において,角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)を\( \ 0 \ \)から\( \ +\infty \ \)まで変化させたときの一巡周波数伝達関数\( \ G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)のベクトル軌跡が図2であった。ゲイン余裕\( \ g_{\mathrm {m}} \ \)は,線分\( \ \mathrm {OQ} \ \)の長さを\( \ \overline {\mathrm {OQ}} \ \)で表すとき,\( \ \displaystyle g_{\mathrm {m}}=20\log _{10}\frac {1}{\overline {\mathrm {OQ}}} \ \mathrm {[dB]} \ \)で与えられる。位相交差角周波数を\( \ \omega _{\mathrm {cp}} \ \)とする。次の問に答えよ。

(1) \( \ \overline {\mathrm {OQ}} \ \)を一巡周波数伝達関数\( \ G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)を用いて表せ。

(2) \( \ g_{\mathrm {m}}=20 \ \mathrm {dB} \ \)のとき\( \ \left| G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \right| \ \)が成立する条件式を対数関数を用いずに示せ。

(3) \( \ \displaystyle G_{\mathrm {p}}\left( s\right) =\frac {1}{\left( 1+3s\right) \left( 1+7s\right) } \ \),\( \ G_{\mathrm {c}}\left( s\right) =K \ \),\( \ \displaystyle H\left( s\right) =\frac {1}{1+s} \ \)であるとき,\( \ \omega _{\mathrm {cp}} \ \)の値を求めよ。ただし,\( \ K>0 \ \)とする。

(4) 小問(3)のとき,ゲイン余裕を\( \ 20 \ \mathrm {dB} \ \)とする\( \ K \ \)の値を求めよ。

(5) 小問(3)のとき,制御系を安定限界とする\( \ K \ \)の値を求めよ。

(6) 小問(5)のときの閉ループ系の特性根\( \ \lambda \ \)を全て求めよ。


【ワンポイント解説】

電験\( \ 1 \ \)種としては近年出題の少ない古典制御からの問題ですが,\( \ 2 \ \)年連続して出題されているので,もしかすると傾向が変わってきているかもしれません。
全体として難易度は普通としていますが,(1)~(5)までは易しい問題で,(6)は高難度の問題となります。(6)の三次方程式の解き方は本解説を一例に覚えるようにして下さい。
ただし,合格基準を満たすためには(5)までを正解できれば十分なので,(6)は深追いせず参考程度に留めておいても良いかもしれません。

1.ナイキストの安定判別法
開ループ周波数伝達関数\( \ G_{0}( \mathrm {j}\omega ) \ \)が与えられている時,\( \ G_{0}( \mathrm {j}\omega ) \ \)が実軸と交わる点が,\( \ (-1,0 ) \ \)より右側ならば安定,左側ならば不安定,\( \ (-1,0 ) \ \)であれば安定限界となります。

2.ラウスの安定判別法
特性方程式\( \ a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}=0 \ \)が与えられている時,ラウスの安定判別法による安定条件は,
\[
\begin{eqnarray}
&&1. s^{n},s^{n-1},\cdots ,s^{1},s^{0}の係数がすべて存在 \\[ 5pt ] &&2. s^{n},s^{n-1},\cdots ,s^{1},s^{0}の係数がすべて同符号 \\[ 5pt ] &&3. ラウスの数表の値がすべて正であること \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] です。ラウスの数表は下図のようになります。
\[
\begin{array}{c|ccc}
& 1列 & 2列 & 3列 \\
\hline
 1行  & a_{0} & a_{2} & a_{4} & \cdots \\
 2行  & a_{1} & a_{3} & a_{5} & \cdots \\
 3行  & b_{1}=\frac {a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}}{a_{1}} & b_{2}=\frac {a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5}}{a_{1}} & \cdots \\
 4行  & c_{1}=\frac {b_{1}a_{3}-a_{1}b_{2}}{b_{1}} & c_{2}=\frac {b_{1}a_{5}-a_{1}b_{3}}{b_{1}} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}
\]

【解答】

(1)\( \ \overline {\mathrm {OQ}} \ \)を一巡周波数伝達関数\( \ G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)を用いて表す
\( \ Q \ \)の状態にあるのは,\( \ \omega =\omega _{\mathrm {cp}} \ \)の時であるから,\( \ \overline {\mathrm {OQ}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\overline {\mathrm {OQ}} &=& \left| G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) \right| \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)\( \ g_{\mathrm {m}}=20 \ \mathrm {dB} \ \)のとき\( \ \left| G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \right| \ \)が成立する条件式
\( \ \displaystyle g_{\mathrm {m}}=20\log _{10}\frac {1}{\overline {\mathrm {OQ}}} \ \mathrm {[dB]} \ \)なので,
\[
\begin{eqnarray}
g_{\mathrm {m}} &=& 20\log _{10}\frac {1}{\overline {\mathrm {OQ}}} \\[ 5pt ] &=& 20\log _{10}\frac {1}{\left| G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) \right| } \\[ 5pt ] &=& -20\log _{10}\left| G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) \right| \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。上式に各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
20 &=& -20\log _{10}\left| G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) \right| \\[ 5pt ] -1 &=& \log _{10}\left| G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) \right| \\[ 5pt ] \left| G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}} \right) \right| &=& 10^{-1} \\[ 5pt ] &=& 0.1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)\( \ \displaystyle G_{\mathrm {p}}\left( s\right) =\frac {1}{\left( 1+3s\right) \left( 1+7s\right) } \ \),\( \ G_{\mathrm {c}}\left( s\right) =K \ \),\( \ \displaystyle H\left( s\right) =\frac {1}{1+s} \ \)であるとき,\( \ \omega _{\mathrm {cp}} \ \)の値
一巡周波数伝達関数\( \ G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)に各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) &=& G_{\mathrm {p}}\left( \mathrm {j}\omega \right) G_{\mathrm {c}}\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{\left( 1+\mathrm {j}3\omega \right) \left( 1+\mathrm {j}7\omega \right) }\cdot K \cdot \frac {1}{1+\mathrm {j}\omega} \\[ 5pt ] &=& \frac {K}{\left( 1+\mathrm {j}3\omega \right) \left( 1+\mathrm {j}7\omega \right) \left( 1+\mathrm {j}\omega \right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {K}{\left( 1-21\omega ^{2}+\mathrm {j}10\omega \right) \left( 1+\mathrm {j}\omega \right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {K}{1+\mathrm {j}\omega -21\omega ^{2}-\mathrm {j}21\omega ^{3}+\mathrm {j}10\omega -10\omega ^{2} } \\[ 5pt ] &=& \frac {K}{1-31\omega ^{2}+\mathrm {j}\omega \left( 11 -21\omega ^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\( \ \omega =\omega _{\mathrm {cp}} \ \)の時,上式の虚数部は零となるから,
\[
\begin{eqnarray}
11 -21\omega _{\mathrm {cp}} ^{2} &=& 0 \\[ 5pt ] \omega _{\mathrm {cp}} ^{2}&=& \frac {11}{21} \\[ 5pt ] \omega _{\mathrm {cp}}&=& \sqrt {\frac {11}{21}} \ \left( ∵\omega _{\mathrm {cp}}>0\right) \\[ 5pt ] &≒& 0.72375 → 0.724 \ \mathrm {[rad/s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)小問(3)のとき,ゲイン余裕を\( \ 20 \ \mathrm {dB} \ \)とする\( \ K \ \)の値
(3)より,
\[
\begin{eqnarray}
G\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}}\right) H\left( \mathrm {j}\omega _{\mathrm {cp}}\right) &=& \frac {K}{1-31\omega _{\mathrm {cp}}^{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {K}{\displaystyle 1-31\times \frac {11}{21}} \\[ 5pt ] &=& -\frac {K}{15.238} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,(2)より,\( \ g_{\mathrm {m}}=20 \ \mathrm {dB} \ \)のとき\( \ \left| G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \right| =0.1 \ \)であるから,これを上式に代入して\( \ K \ \)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
0.1 &=& \frac {K}{15.238} \\[ 5pt ] K &=& 0.1\times 15.238 \\[ 5pt ] &=& 1.5238 → 1.52 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)小問(3)のとき,制御系を安定限界とする\( \ K \ \)の値
制御系を安定限界とするためには,\( \ \left| G\left( \mathrm {j}\omega \right) H\left( \mathrm {j}\omega \right) \right| =1 \ \)とすれば良いので,
\[
\begin{eqnarray}
1 &=& \frac {K}{15.238} \\[ 5pt ] K &=& 15.238 → 15.2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(6)小問(5)のときの閉ループ系の特性根\( \ \lambda \ \)を全て
図1より,閉ループ系の伝達関数\( \ W \left( s \right) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W \left( s \right) &=& \frac {G\left( s \right) }{1+G\left( s \right) H\left( s \right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,特性方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
1+G\left( s \right) H\left( s \right) &=& 0 \\[ 5pt ] 1+G_{\mathrm {p}}\left( s\right) G_{\mathrm {c}}\left( s\right) H\left( s \right) &=& 0 \\[ 5pt ] 1+\frac {1}{\left( 1+3s\right) \left( 1+7s\right) }\cdot K\cdot \frac {1}{1+s} &=& 0 \\[ 5pt ] 1+\frac {K}{\left( 1+3s\right) \left( 1+7s\right) \left( 1+s\right) } &=& 0 \\[ 5pt ] 1+\frac {K}{\left( 21s^{2}+10s+1\right) \left( 1+s\right) } &=& 0 \\[ 5pt ] 1+\frac {K}{ 21s^{3}+31s^{2}+11s+1 } &=& 0 \\[ 5pt ] 21s^{3}+31s^{2}+11s+\left( K+1\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,ワンポイント解説「2.ラウスの安定判別法」の通り,ラウスの数表を書くと,
\[
\begin{array}{c|ccc}
& 1列 & 2列 & 3列 \\
\hline
 s^{3}  & 21 & 11 & 0 \\
 s^{2}  & 31 & K+1 & 0 \\
 s^{1}  & \frac {320-21K}{31} & 0 \\
 s^{0}  & K+1 & 0 \\
\end{array}
\] となる。ここで,安定限界であるとき,\( \ \displaystyle K=\displaystyle 31\times \frac {11}{21}-1≒15.238 \ \)となり,ラウスの数表の\( \ s^{1} \ \)の行が全て零になることがわかる。
このとき,虚軸上に特性根があり,\( \ s^{2} \ \)の行について以下の方程式,
\[
\begin{eqnarray}
31s^{2} +\left( K+1 \right) &=& 0 \\[ 5pt ] 31s^{2} +16.238 &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立する。上式と解くと,
\[
\begin{eqnarray}
s^{2} &=& -\frac {16.238}{31} \\[ 5pt ] s &=& \sqrt {-\frac {16.238}{31}} \\[ 5pt ] &=& ±\mathrm {j}0.72374 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,これらが特性方程式の根となる。もう一つの根を\( \ \lambda _{0} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\left( s-\lambda _{0} \right) \left( s+\mathrm {j}0.72374 \right) \left( s-\mathrm {j}0.72374 \right)&=& 0 \\[ 5pt ] \left( s-\lambda _{0} \right) \left( s^{2}+0.52380 \right) &=& 0 \\[ 5pt ] s^{3}-\lambda _{0} s^{2}+0.52380s-0.52380\lambda _{0} &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,これが特性方程式
\[
\begin{eqnarray}
21s^{3}+31s^{2}+11s+16.238&=& 0 \\[ 5pt ] s^{3}+1.4762s^{2}+0.52380s+0.77324 &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と一致しなければならないので,もう一つの根は\( \ \lambda _{0} =-1.4762 \ \)と求められる。

以上から,3つの特性根\( \ \lambda \ \)は,\( \ -1.48,±\mathrm {j}0.724 \ \)と求められる。



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