《理論》〈電気回路〉[H23:問2] 直流回路に関する計算問題

 

【問題】

【難易度】★★★★★(難しい)

次の文章は,直流回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。

図1に示す平衡条件を満たすブリッジ回路において,抵抗\(R_{2}\)に抵抗\(3R_{2}\)を直列又は並列に接続したときに,電流計に流れる電流を補償定理を使って求めてみよう。ただし,\(E\)は直流電圧源の大きさであり,電圧源と電流源計の内部抵抗は無視できるものとする。
図1では電流計には電流は流れていない。したがって,題意の電流を求めるとき,\(3R_{2}\)を接続したことによる変化分を考えればよい。
補償定理によれば,\(3R_{2}\)を直列に接続したことによる電流の変化分は,図2に示す回路で計算できる。\(R_{2}\)と\(3R_{2}\)に接続される電圧源の大きさ\(E^{\prime }\)は\(\fbox {  (1)  }\)となるから,電流計に流れる電流\(I_{1}\)は\(\fbox {  (2)  }\)となる。
同様に,\(R_{2}\)と並列に\(3R_{2}\)を接続したときに電流計に流れる電流\(I_{2}\)は,図3に示す回路で計算できる。\(R_{2}\)に\(3R_{2}\)を並列に接続したことによる\(R_{2}\)に対する抵抗の変化分の絶対値は\(\fbox {  (3)  }\)となる。したがって,電圧源の大きさ\(E^{\prime \prime}\)は\(\fbox {  (4)  }\)となり,\(I_{2}\)は\(\fbox {  (5)  }\)となる。


〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {E}{11R_{1}+9R_{2}}   &(ロ)& \frac {E}{16R_{1}+12R_{2}}   &(ハ)& \frac {E}{R_{1}+2R_{2}} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {3R_{2}}{R_{1}+4R_{2}}E   &(ホ)& \frac {E}{2R_{1}+4R_{2}}   &(ヘ)& \frac {E}{8R_{1}+6R_{2}} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {3R_{2}E}{R_{1}+4R_{2}}   &(チ)& \frac {R_{2}}{4}   &(リ)& \frac {3}{4}E \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E   &(ル)& 2R_{2}   &(ヲ)& \frac {3R_{2}}{4} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {R_{2}E}{11R_{1}+9R_{2}}   &(カ)& \frac {2R_{2}E}{R_{1}+R_{2}}   &(ヨ)& \frac {R_{2}E}{4\left( R_{1}+R_{2}\right) }
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

補償定理を扱う難問です。途中の回路計算は電流値を求める計算が非常に複雑になるため,限られた試験時間の中では本問(2),(5)は後回しにし,時間があれば解いた方が良いと思います。

【解答】

(1)解答:ヌ
図1の\(R_{2}\)に流れる電流\(I_{0}\)は,電流計に流れる電流は0であるから,
\[
I_{0}=\frac {E}{R_{1}+R_{2}}
\] となり,補償定理より,図2の補償起電力\(E’\)は抵抗増加分\(3R_{2}\)と\(I_{0}\)の積と等しいから,
\[
\begin{eqnarray}
E’&=&3R_{2}I_{0} \\[ 5pt ] &=&3R_{2}\cdot \frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ホ
図2は図2-1のように整理し,書き換えすることができる。
図2-1の合成抵抗\(R\)は,
\[
R=R_{2}+3R_{2}+\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}\right) ^{-1}
\] であるから,電源\(E^{\prime }\)を流れる電流\(I_{0}^{\prime }\)は,
\[
I_{0}^{\prime }=\frac {E^{\prime }}{R}=\frac{\frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E}{R_{2}+3R_{2}+\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}\right) ^{-1}}
\] と求められ、さらに電流計を流れる電流\(I_{1}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+\left( \frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}\right) ^{-1}}I_{0}’ \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{1}}{R_{1}+\left( \frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}\right) ^{-1}}\frac{\frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E}{R_{2}+3R_{2}+\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}\right) ^{-1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\frac {3R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E}{ \left( R_{1}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left( 4R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+3R_{2}}\right)}
\end{eqnarray}
\] となるので,分母分子を\(R_{1}R_{2}\)で割って整理すると
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {3E}{ \left(R_{1}+R_{2}\right)\left( 1+\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left( 4+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ] &=&\frac {3E}{ \left(R_{1}+3R_{2}\right) \left( 4+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ] &=&\frac {3E}{6R_{1}+12R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{2R_{1}+4R_{2}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:チ
\(R_{2}\)と\(3R_{2}\)の並列合成抵抗は,
\[
\left( \frac {1}{R_{2}}+\frac {1}{3R_{2}}\right) ^{-1}=\frac {3}{4}R_{2}
\] であるから,変化分の絶対値は,
\[
R_{2}-\frac {3}{4}R_{2}=\frac {R_{2}}{4}
\] となる。

(4)解答:ヨ
補償定理より,図3の補償起電力\(E”\)は抵抗変化分\(\frac {R_{2}}{4}\)と\(I_{0}\)の積と等しいから,
\[
\begin{eqnarray}
E^{\prime \prime }&=&\frac {R_{2}}{4}I_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}}{4}\cdot \frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E}{4\left(R_{1}+R_{2}\right)}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:イ
(2)と同様に電流計を流れる電流\(I_{2}\)は,
\[
I_{2}=\frac {\frac {R_{1}R_{2}E}{4\left(R_{1}+R_{2}\right)}}{ \left( R_{1}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left(\frac{3}{4}R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+3R_{2}}\right)}
\] 分母分子を\(R_{1}R_{2}\)で割って整理すると
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {E}{ 4\left(R_{1}+R_{2}\right)\left( 1+\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left(\frac{3}{4}+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{ \left(R_{1}+3R_{2}\right) \left(3+\frac {8R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{11R_{1}+9R_{2}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。



記事下のシェアタイトル