《理論》〈電気回路〉[H26:問4]回路の過渡現象に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，回路の過渡現象に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のようにスイッチ$ \ \mathrm {S} \ $と直流電流源$ \ I \ $，インダクタンス$ \ L \ $のコイル，抵抗$ \ R \ $及び$ \ r \ $が接続されている。ただし$ \ r＞R \ $である。$ \ L \ $に流れる電流$ \ i \ $を，スイッチの動作が次の二つの場合においてそれぞれ求めたい。$ \ L \ $の両端の電圧$ \ v \ $を図のように定める。

a.時間$ \ t＜0 \ $では，スイッチ$ \ \mathrm {S} \ $は$ \ \mathrm {a} \ $側であり，回路は定常状態である。$ \ t=0 \ $において$ \ \mathrm {S} \ $を$ \ \mathrm {b} \ $側に切り替えた。
$ \ t＞0 \ $における$ \ i \ $の時間的変化について考える。このとき，$ \ R \ $と$ \ L \ $は閉路になっている。よって，
\[
\begin{eqnarray}
Ri+v &=& 0　　　　　　　・・・・・・・・・・① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ここで，$ \ \displaystyle v=L \frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \ $より
\[
\begin{eqnarray}
L \frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} + Ri &=& 0　　　　　・・・・・・・・・・② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] $ \ t=0 \ $のとき$ \ i= \ \fbox {　（１）　} \ $より，②式を解くと
\[
\begin{eqnarray}
i=\fbox {　（２）　} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

b.時間$ \ t＜0 \ $では，スイッチ$ \ \mathrm {S} \ $は$ \ \mathrm {b} \ $側であり，回路は定常状態である。$ \ t=0 \ $において$ \ \mathrm {S} \ $を$ \ \mathrm {a} \ $側に切り替えた。$ \ r \ $に流れる電流を$ \ i_{1} \ $とする。
$ \ t＞0 \ $において
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{l}
　　　　　i_{1} + i = I \\[ 5pt ] 　　　　　Ri + v = \fbox {　（３）　}
\end{array}
\right\}　・・・・・・・・・・③
\end{eqnarray}
\] が成り立つ。$ \ t=0 \ $のときの$ \ i \ $を考慮して$ \ t＞0 \ $における$ \ i \ $を求めると$ \ i= \ \fbox {　（４）　} \ $となる。
また，$ \ i=i_{1} \ $となる時刻$ \ T \ $は$ \ T= \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {r}{R+r}I\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}　　　　　&（ロ）&　\frac {r}{r+R}I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}　　　　　&（ハ）&　\frac {R}{r+R}I \\[ 5pt ] &（ニ）&　r\left( I-i_{1}\right)　　　　　&（ホ）&　\frac {L}{R+r}\ln \frac {2r}{r-R}　　　　　&（ヘ）&　r\left( I+i_{1}\right) \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {r}{R+r}I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right)　　　　　&（チ）&　ri_{1}　　　　　&（リ）&　\frac {r}{r+R}I \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {R}{r+R}I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}　　　　　&（ル）&　I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}　　　　　&（ヲ）&　\frac {2r}{R+r}I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {1}{\left( R+r\right) L}\ln \frac {2r}{r-R}　　　　　&（カ）&　I　　　　　&（ヨ）&　\frac {L}{R+r}\ln \frac {R+r}{r}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

過渡現象を変数分離により解く問題です。二種では比較的ポピュラーな内容であったと思います。電流源が入り，二種の時よりはやや高度となりますが，一種としては比較的易しい問題の部類に入ると思います。

1.過渡現象における$ \ RLC \ $それぞれの電圧
線路に流れる電流を$ \ i \ $とし，抵抗$ \ R \ $の電圧$ \ V_{\mathrm{R}} \ $，リアクトル$ \ L \ $の電圧$ \ V_{\mathrm{L}} \ $，コンデンサ$ \ C \ $の電圧$ \ V_{\mathrm{C}} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ] V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を$ \ i_{\mathrm {s}} \ $，過渡解を$ \ i_{\mathrm {t}} \ $とすると，電流値$ \ i \ $は$ \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ $となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ $とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \ln {x} =\frac {1}{x}　
\] ②自然対数の積分
\[
\int \frac {1}{x}\mathrm {d}x =\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right)
\] \[
\ln {x}=-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時，　x=A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right)となります。
\]

【解答】

(1)解答：リ
$ \ t=0 \ $においてリアクトル$ \ L \ $の電流変化$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}=0 \ $であり$ \ v=0 \ $であるから，抵抗$ \ R \ $を流れる電流$ \ i \ $の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {r}{r+R}I \\[ 5pt ]　
\end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答：ロ
②式を変数分離により解くと，
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}+Ri &=& 0 \\[ 5pt ] L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} &=& -Ri \\[ 5pt ] \frac {1}{i}\mathrm {d}i &=& -\frac {R}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \int \frac {1}{i}\mathrm {d}i &=& \int -\frac {R}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ]　
\ln i &=& -\frac {R}{L}t +C \\[ 5pt ] i &=& A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。(1)より$ \ \displaystyle i ( 0 ) = \frac {r}{r+R}I \ $であるから，$ \ \displaystyle A = \frac {r}{r+R}I \ $となるので，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {r}{r+R}I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：チ
並列回路において回路の電圧降下は等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
Ri +v &=& ri_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(4)解答：ト
③より式を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
Ri +v &=& ri_{1} \\[ 5pt ] Ri +L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} &=& r\left( I- i\right) \\[ 5pt ] L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} +\left( R +r\right) i &=& rI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」により，過渡解$ \ i_{\mathrm {t}} \ $と定常解$ \ i_{\mathrm {s}} \ $を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t} +\left( R +r\right) i_{\mathrm {t}} &=& 0 \\[ 5pt ] L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t} &=& -\left( R +r\right) i_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ] \frac {1}{i_{\mathrm {t}}}\mathrm {d}i_{\mathrm {t}} &=& -\frac {R +r}{L} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \int \frac {1}{i_{\mathrm {t}}}\mathrm {d}i_{\mathrm {t}} &=& \int \left( -\frac {R +r}{L}\right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \ln i_{\mathrm {t}} &=& -\frac {R +r}{L} t +C \\[ 5pt ] i_{\mathrm {t}} &=& A\mathrm {e}^{-\frac {R +r}{L} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\left( R +r\right) i_{\mathrm {s}} &=& rI \\[ 5pt ] i_{\mathrm {s}} &=& \frac {r}{R+r}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，一般解は，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& i_{\mathrm {t}}+i_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=& A\mathrm {e}^{-\frac {R +r}{L} t}+\frac {r}{R+r}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。ここで，$ \ t=0 \ $の時$ \ i=0 \ $であるから，$ \ \displaystyle A=-\frac {r}{R+r}I \ $となるので，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& -\frac {r}{R+r}I\mathrm {e}^{-\frac {R +r}{L} t}+\frac {r}{R+r}I \\[ 5pt ] &=& \frac {r}{R+r}I\left( 1-e^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ホ
$ \ i=i_{1} \ $すなわち，$ \ \displaystyle i=\frac {I}{2} \ $の時の時刻$ \ T \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {I}{2} &=& \frac {r}{R+r}I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}T}\right) \\[ 5pt ] \frac {R+r}{2r} &=& 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}T} \\[ 5pt ] \mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}T} &=& \frac {r-R}{2r} \\[ 5pt ] -\frac {R+r}{L}T &=& \ln \frac {r-R}{2r} \\[ 5pt ] T&=& -\frac {L}{R+r}\ln \frac {r-R}{2r} \\[ 5pt ] &=& \frac {L}{R+r}\ln \frac {2r}{r-R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。