《理論》〈電気回路〉[H26:問5]三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,三相交流回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。ただし,\(a\)は複素数で\(a=e^{j\frac {2}{3}\pi }\)とする。

図1のように対称三相交流電圧源に\(\mathrm {Y}\)形不平衡負荷を接続した。
\({\dot E}_{\mathrm {a}}=120 \ \mathrm {V}∠0°\)であり,相回転は\({\dot E}_{\mathrm {a}}\),\({\dot E}_{\mathrm {b}}\),\({\dot E}_{\mathrm {c}}\)の順とする。この相回転の順を式で表すと
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {b}} &=& a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}},{\dot E}_{\mathrm {c}} &=& a{\dot E}_{\mathrm {a}}       ・・・・・・・・・・① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。いま,回路の線電流\({\dot I}_{\mathrm {a}}\),\({\dot I}_{\mathrm {b}}\),\({\dot I}_{\mathrm {c}}\)も対称三相であり,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}},{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& a{\dot I}_{\mathrm {a}}       ・・・・・・・・・・② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係式を満たしているものとする。このとき,\(\mathrm {Y}\)形不平衡負荷の各相の電圧平衡の式は
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& {\dot E}_{\mathrm {a}}-\fbox {  (1)  },{\dot I}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& {\dot E}_{\mathrm {b}}-\fbox {  (1)  },{\dot I}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& {\dot E}_{\mathrm {c}}-\fbox {  (1)  }・・③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,①式と②式を利用すると,③式より\(\mathrm {Y}\)形不平衡負荷のインピーダンスは
\[
\begin{pmatrix}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {c}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\fbox {  (2)  }\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} ・・・④ \\[ 5pt ] \] と表すことができる。ただし,\(a^{3}=1\)に注意する。

ここで,①式と②式が成立して,\({\dot Z}_{\mathrm {b}}=11-j\sqrt {3} \ \Omega ,{\dot Z}_{\mathrm {c}}=11+j\sqrt {3} \ \Omega \)であるときを考える。④式に従って\({\dot Z}_{\mathrm {a}}\),\({\dot Z}_{\mathrm {b}}\),\({\dot Z}_{\mathrm {c}}\)を複素平面上にプロットすると,これらは中心が\(\displaystyle \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}\)である正三角形の頂点をなし,図2のどちらかになる。なお,\({\dot Z}_{\mathrm {a}}\)と\(\displaystyle \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}\)は実軸上に位置している。図2の二つの三角形のうち,④式と整合する正三角形を利用すると\({\dot Z}_{\mathrm {a}}=\fbox {  (3)  }\Omega \),\({\dot I}_{\mathrm {a}}=\fbox {  (4)  }\mathrm {A} \),\({\dot V}_{\mathrm {n}}=\fbox {  (5)  }\mathrm {V} \)であることが分かる。


〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& a^{2}{\dot V}_{\mathrm {n}}   &(ロ)& 14   &(ハ)& 13 \\[ 5pt ] &(ニ)& 16   &(ホ)& 8   &(ヘ)& 24 \\[ 5pt ] &(ト)& {\dot V}_{\mathrm {n}}   &(チ)& a{\dot V}_{\mathrm {n}}   &(リ)& 32 \\[ 5pt ] &(ヌ)& -20   &(ル)& 12   &(ヲ)& 10 \\[ 5pt ] &(ワ)& \begin{pmatrix}
1 \\ a \\ a^{2}
\end{pmatrix}   &(カ)& \begin{pmatrix}
1 \\ a^{2} \\ a
\end{pmatrix}   &(ヨ)& \begin{pmatrix}
a \\ a^{2} \\ 1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三相交流回路の問題は電験一種問5の定番問題となっています。この問題は\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換等もなく,複雑な計算もないので,例年に比べれば易しめの問題と言えると思います。

1.ベクトルオペレータ\(a\)
題意で与えられているベクトルオペレータ\(a=e^{j\frac {2\pi}{3}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+j\sin \frac {2\pi}{3} &=& -\frac {1}{2}+j\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+j\sin \frac {4\pi}{3} &=& -\frac {1}{2}-j\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+j\sin \frac {6\pi}{3} &=& 1
\end{eqnarray}
\] となります。したがって,
\[
\begin{eqnarray}
\overline {a} &=& a^{2} \\[ 5pt ] \overline {a^{2}} &=& a \\[ 5pt ] 1+a+a^{2} &=& 0
\end{eqnarray}
\] が成立します。

【解答】

(1)解答:ト
図1より,\({\dot E}_{\mathrm {a}}\),\({\dot I}_{\mathrm {a}}\),\({\dot Z}_{\mathrm {a}}\),\({\dot V}_{\mathrm {n}}\)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。同様に,\(\mathrm {b}\)相,\(\mathrm {c}\)相も
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot E}_{\mathrm {b}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot E}_{\mathrm {c}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ワ
(1)より,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot E}_{\mathrm {b}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {b}}}{{\dot I}_{\mathrm {b}}}-{{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}}}{a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {a^{3}{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}} \left( ∵ a^{3}=1\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot E}_{\mathrm {c}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {c}}}{{\dot I}_{\mathrm {c}}}-{{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {a{\dot E}_{\mathrm {a}}}{a{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {a^{3}{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a{\dot I}_{\mathrm {a}}} \left( ∵ a^{3}=1\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a^{2}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,
\[
\begin{pmatrix}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {c}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-
\begin{pmatrix}
1 \\ a \\ a^{2}
\end{pmatrix}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \] と求められる。

(3)解答:ホ
まず図2の左側の正三角形であると仮定すると,各線分の長さは図2-1の赤字で示されている長さとなるため,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=& 12 \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& 14 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これを(2)の解答式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] 14&=&12-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=&-2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\({\dot Z}_{\mathrm {b}}\),\({\dot Z}_{\mathrm {c}}\)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=& 12+2a \\[ 5pt ] &=& 11+j\sqrt{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a^{2}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=& 12+2a^{2} \\[ 5pt ] &=& 11-j\sqrt{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,図2-1と合致しない。

次に,図2の右側であるとすると,各線分の長さは図2-2の赤字で示されている長さとなるため,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=& 10 \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& 8 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これを(2)の解答式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] 8&=&10-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=&2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\({\dot Z}_{\mathrm {b}}\),\({\dot Z}_{\mathrm {c}}\)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=& 10-2a \\[ 5pt ] &=& 11-j\sqrt{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a^{2}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=& 10-2a^{2} \\[ 5pt ] &=& 11+j\sqrt{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,図2-2と合致する。よって,こちらの三角形が整合する三角形となる。よって,\({\dot Z}_{\mathrm {a}}=8 \ \Omega \)となる。

(4)解答:ル
\(\displaystyle \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}= 10\),\({\dot E}_{\mathrm {a}}=120 \ \mathrm {V} \)であるので,\({\dot I}_{\mathrm {a}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {120}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} &=& 10\\[ 5pt ] {\dot I}_{\mathrm {a}}&=&12 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヘ
(4)より,\(\displaystyle \frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}=2\)であるので,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{12} &=& 2\\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {n}}&=&24 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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