《理論》〈電気回路〉[H26:問3]直流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,直流回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図に示す電圧源\(E_{1}\),\(E_{2}\),\(E_{3}\)及び抵抗\(R_{1}\),\(R_{2}\),\(R_{3}\),\(R_{4}\),\(R_{5}\),\(R_{6}\)を接続した回路において,網目電流(閉路電流)\(I_{1}\),\(I_{2}\),\(I_{3}\)を図のようにとると,これらに関する網目方程式は次式のように表される。
\[
\begin{pmatrix}
\fbox {  (1)  } & -R_{5} & R_{6} \\
-R_{5} & R_{2}+R_{4}+R_{5} & \fbox {  (2)  } \\
R_{6} & \fbox {  (2)  } & \fbox {  (3)  }
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\] 次に,\(R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{4}=R_{5}=R_{6}=R\)として,このときの電流\(I_{1}\)及び\(R_{4}\)に流れる\(I_{4}\)を\(E_{1}\),\(E_{2}\),\(E_{3}\)及び\(R\)を用いて表せば,\(I_{1}=\fbox {  (4)  }\),\(I_{4}=\fbox {  (5)  }\)となる。

   

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& R_{3}+R_{4}+R_{6}   &(ロ)& R_{1}+R_{5}+R_{6}   &(ハ)& \frac {E_{2}-E_{3}}{4R} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {4E_{1}-E_{2}-E_{3}}{8R}   &(ホ)& \frac {2E_{1}-E_{2}+E_{3}}{8R}   &(ヘ)& R_{1}-R_{5}+R_{6} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {E_{1}-E_{2}+E_{3}}{4R}   &(チ)& R_{3}+R_{4}   &(リ)& -R_{4} \\[ 5pt ] &(ヌ)& -R_{1}+R_{5}+R_{6}   &(ル)& \frac {2E_{1}-E_{2}+E_{3}}{4R}   &(ヲ)& R_{4} \\[ 5pt ] &(ワ)& R_{3}-R_{4}+R_{6}   &(カ)& \frac {E_{2}+E_{3}}{4R}   &(ヨ)& R_{3}+R_{4}-R_{6}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

3×3の逆行列が導出できるかが肝となる問題です。逆行列の求め方が分からない場合は,連立方程式を解けば何とか導き出せると思います。

1.逆行列の導出(掃出法)
2×2の行列では逆行列の公式がありますが,それ以上の行列では自分で計算して導出する必要があります。
\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}\)の逆行列は,
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\] と置いて,行の足し算引き算等を繰り返して,
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
0 & 1 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
0 & 0 & 1 & b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\] のように変換した時の\(
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\)
が逆行列となります。

【解答】

(1)解答:ロ
問題図の\(I_{1}\)で示されているループの回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}-R_{1}I_{1}-R_{5}\left( I_{1}-I_{2}\right) -E_{2}-R_{6}\left( I_{1}+I_{3}\right) +E_{3} &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+R_{5}+R_{6}\right) I_{1} -R_{5}I_{2}+R_{6}I_{3} &=& E_{1}-E_{2}+E_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。問題の行列の一行目の式と比較すると,(1)は\(R_{1}+R_{5}+R_{6}\)となる。

(2)解答:ヲ
問題図の\(I_{2}\)で示されているループの回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}-R_{5}\left( I_{2}-I_{1}\right) -R_{2}I_{2}-R_{4}\left( I_{2}+I_{3}\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
-R_{5}I_{1} +\left( R_{2}+R_{4}+R_{5}\right) I_{2}+R_{4}I_{3} &=& E_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。問題の行列の二行目の式と比較すると,(2)は\(R_{4}\)となる。

(3)解答:イ
問題図の\(I_{3}\)で示されているループの回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{3}-R_{3}I_{3}-R_{4}\left( I_{2}+I_{3}\right) – R_{6}\left( I_{1}+ I_{3}\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
R_{6}I_{1} +R_{4}I_{2}+\left( R_{3}+R_{4}+R_{6}\right) I_{3} &=& E_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。問題の行列の三行目の式と比較すると,(3)は\(R_{3}+R_{4}+R_{6}\)となる。

(4)解答:ル
題意より,\(R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{4}=R_{5}=R_{6}=R\)であるので,網目方程式は以下の通りとなる。
\[
\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\] となる。これより,
\[
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}
^{-1}
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\] の関係が成立するので,ワンポイント解説「1.逆行列の導出(掃出法)」により,\(\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}\)の逆行列を求める。
\[
\begin{pmatrix}
3R & -R & R & 1 & 0 & 0 \\
-R & 3R & R & 0 & 1 & 0 \\
R & R & 3R & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\] 1行目-2行目を1行目,2行目+3行目を2行目にすると,
\[
\begin{pmatrix}
4R & -4R & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 4R & 4R & 0 & 1 & 1 \\
R & R & 3R & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\] となる。3行目×4-1行目を3行目にすると,
\[
\begin{pmatrix}
4R & -4R & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 4R & 4R & 0 & 1 & 1 \\
0 & 8R & 12R & -1 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\] となる。2行目×3-3行目を2行目,3行目-2行目×2を3行目とすると,
\[
\begin{pmatrix}
4R & -4R & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 4R & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 4R & -1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\] となる。1行目+2行目を1行目にすると,
\[
\begin{pmatrix}
4R & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 4R & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 4R & -1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\] となる。全体を\(4R\)で割ると,
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac {1}{2R} & \frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} \\
0 & 1 & 0 & \frac {1}{4R} & \frac {1}{2R} & -\frac {1}{4R} \\
0 & 0 & 1 & -\frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} & \frac {1}{2R}
\end{pmatrix}
\] となるので,
\[
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}
^{-1}
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=&
\begin{pmatrix}
\frac {1}{2R} & \frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} \\
\frac {1}{4R} & \frac {1}{2R} & -\frac {1}{4R} \\
-\frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} & \frac {1}{2R}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\] となる。よって,\(I_{1}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=& \frac {1}{2R}\left( E_{1}-E_{2}+E_{3}\right) +\frac {1}{4R}\cdot E_{2}-\frac {1}{4R}\cdot E_{3} \\[ 5pt ] &=&\frac {2E_{1}-E_{2}+E_{3}}{4R}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:カ
(4)の逆行列の結果より,
\[
\begin{eqnarray}
I_{4} &=& I_{2}+I_{3} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{4R}\left( E_{1}-E_{2}+E_{3}\right) +\frac {1}{2R}\cdot E_{2}-\frac {1}{4R}\cdot E_{3} -\frac {1}{4R}\left( E_{1}-E_{2}+E_{3}\right) -\frac {1}{4R}\cdot E_{2}+\frac {1}{2R}\cdot E_{3} \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{2}+E_{3}}{4R} 
\end{eqnarray}
\] と求められる。



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