《理論》〈電気回路〉[R01:問5]不平衡三相負荷に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★(難しい)

次の文章は,三相交流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように,実効値が\( \ 100 \ \mathrm {V} \ \)である対称三相交流電圧が\( \ \Delta \ \)形不平衡負荷と\( \ \mathrm {Y} \ \)形平衡負荷からなる回路に印加されている。図の各線間電圧は\( \ {\dot E}_{\mathrm {ab}}=100∠0° \ \mathrm {[V]} \ \)を基準に,\( \ {\dot E}_{\mathrm {bc}}=a^{2}{\dot E}_{\mathrm {ab}} \ \),\( \ {\dot E}_{\mathrm {ca}}=a{\dot E}_{\mathrm {ab}} \ \)とする。ただし,\( \ a \ \)は複素数で\( \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi }{3}} \ \)である。

スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開き,\( \ \mathrm {Y} \ \)形平衡負荷が接続されていない状態で\( \ \Delta \ \)形不平衡負荷の無効電力の大きさ\( \ Q \ \)を求めると,\( \ Q \ = \ \fbox {  (1)  } \ \mathrm {kvar} \ \)となる。

次に,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じ,\( \ \Delta \ \)形不平衡負荷に\( \ \mathrm {Y} \ \)形平衡負荷が接続された場合の線電流を求める。\( \ \mathrm {Y} \ \)形平衡負荷を\( \ \Delta \ \)形に変換して解くと,\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}}= \ \fbox {  (2)  } \ \mathrm {A} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}}= \ \fbox {  (3)  } \ \mathrm {A} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}}= \ \fbox {  (4)  } \ \mathrm {A} \ \)となる。また,回路全体で消費される有効電力\( \ P \ \)は,\( \ P= \ \fbox {  (5)  } \ \mathrm {kW} \ \)となる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& 1.4     &(ロ)& 4.1-\mathrm {j}19.4     &(ハ)& 39.4+\mathrm {j}10.6 \\[ 5pt ] &(ニ)& 3.7     &(ホ)& -26.9+\mathrm {j}58.9     &(ヘ)& 3.3 \\[ 5pt ] &(ト)& 68.3+\mathrm {j}60.6     &(チ)& -2.3-\mathrm {j}58.3     &(リ)& 2.5 \\[ 5pt ] &(ヌ)& -58.9+\mathrm {j}26.9     &(ル)& 0.7     &(ヲ)& 19.4-\mathrm {j}37.5 \\[ 5pt ] &(ワ)& -66.0-\mathrm {j}2.3     &(カ)& 22.8-\mathrm {j}39.3     &(ヨ)& 6.6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電験1種では\( \ \mathrm {B} \ \)問題の定番となっている三相不平衡負荷に関する問題です。今回の問題のうち,(2)~(4)は複雑な複素計算が必要となり,難易度はかなり高いと言えると思います。

1.不平衡負荷の\( \ \mathrm {\Delta – Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換
毎年のように試験で出題されます。一種レベルの受験者であれば,スラスラと思い出せるぐらいにしておきたいところです。
a.\( \ \mathrm {\Delta – Y} \ \)変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] b.\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

2.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)
題意で与えられているベクトルオペレータ\( \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& 1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答:リ
スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を繋いでいない状態では,無効電力の大きさはコンデンサの電力になるので,コンデンサにかかる電圧は,\( \ {\dot E}_{\mathrm {bc}} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& \frac {\left| {\dot E}_{\mathrm {bc}}\right| ^{2}}{4} \\[ 5pt ] &=& \frac {100^{2}}{4} \\[ 5pt ] &=& 2500 \ \mathrm {[var]} → 2.5 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ハ
ワンポイント解説「1.不平衡負荷の\( \ \mathrm {\Delta – Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換」の通り,コンデンサを\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {\Delta }} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {Y}}\cdot {\dot Z}_{\mathrm {Y}}+{\dot Z}_{\mathrm {Y}}\cdot {\dot Z}_{\mathrm {Y}}+{\dot Z}_{\mathrm {Y}}\cdot {\dot Z}_{\mathrm {Y}}}{{\dot Z}_{\mathrm {Y}}} \\[ 5pt ] &=& 3{\dot Z}_{\mathrm {Y}} \\[ 5pt ] &=& 3\times \left( -\mathrm {j}2\right) \\[ 5pt ] &=& -\mathrm {j}6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,三相のそれぞれの合成アドミタンス\( \ {\dot Y}_{\mathrm {ab}} \ \),\( \ {\dot Y}_{\mathrm {bc}} \ \),\( \ {\dot Y}_{\mathrm {ca}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {1}{6}-\frac {1}{\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6} \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {bc}} &=& -\frac {1}{\mathrm {j}4}-\frac {1}{\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {j}\frac {5}{12} \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {1}{6}-\frac {1}{\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,線電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot Y}_{\mathrm {ab}}{\dot E}_{\mathrm {ab}}-{\dot Y}_{\mathrm {ca}}{\dot E}_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 -\left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \times \left( -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \times \left( \frac {3}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) \\[ 5pt ] &=& 100 \times \left\{ \left( \frac {1}{4}+\frac {\sqrt {3}}{12}\right) + \mathrm {j} \left( \frac {1}{4}-\frac {\sqrt {3}}{12}\right) \right\} \\[ 5pt ] &≒& 39.4+\mathrm {j}10.6 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ヲ
同様に線電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot Y}_{\mathrm {bc}}{\dot E}_{\mathrm {bc}}-{\dot Y}_{\mathrm {ab}}{\dot E}_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {j}\frac {5}{12} \times 100\times \left( -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) -\left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \\[ 5pt ] &=& 100\times \left\{ \left( \frac {5\sqrt {3}}{24}-\mathrm {j}\frac {5}{24}\right) -\left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \right\} \\[ 5pt ] &=& 100 \times \left\{ \left( \frac {5\sqrt {3}-4}{24}\right) – \mathrm {j} \frac {3}{8} \right\} \\[ 5pt ] &≒& 19.4-\mathrm {j}37.5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヌ
同様に線電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot Y}_{\mathrm {ca}}{\dot E}_{\mathrm {ca}}-{\dot Y}_{\mathrm {bc}}{\dot E}_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \times \left( -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) -\mathrm {j}\frac {5}{12} \times 100\times \left( -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) \\[ 5pt ] &=& 100\times \left\{ \left( -\frac {1}{12}-\frac {\sqrt {3}}{12}\right) +\mathrm {j}\left( \frac {\sqrt {3}}{12}-\frac {1}{12}\right) +\left( -\frac {5\sqrt {3}}{24}+\mathrm {j}\frac {5}{24}\right) \right\} \\[ 5pt ] &=& 100\times \left\{ \left( -\frac {1}{12}-\frac {7\sqrt {3}}{24}\right) +\mathrm {j}\left( \frac {\sqrt {3}}{12}+\frac {1}{8}\right) \right\} \\[ 5pt ] &≒& -58.9+\mathrm {j}26.9 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヘ
回路全体で消費される電力は抵抗で消費される電力であるから,
\[
\begin{eqnarray}
P &=& \frac {\left| {\dot E}_{\mathrm {ab}}\right| ^{2}}{6}+ \frac {\left| {\dot E}_{\mathrm {ca}}\right| ^{2}}{6} \\[ 5pt ] &=& \frac {100^{2}}{6}+ \frac {100^{2}}{6} \\[ 5pt ] &≒& 3333 \ \mathrm {[W]} → 3.3 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



記事下のシェアタイトル